第四章线性方程组的迭代法文档格式.docx

1、为了讨论迭代公式（4）的收敛性,我们引进误差向量. （5）由（3）和（4）便得到误差向量所满足的方程 （6）递推下去,最后便得到 （7）二、迭代法的收敛性若欲由（4）所确定的迭代法对任意给定的初始向量都收敛,则由（7）确定的误差向量应对任何初始误差都收敛于0.定义2若 （8）则称矩阵序列依范数收敛于.由范数的等价性可以推出，在某种范数意义下矩阵序列收敛，则在任何一种范数意义下该矩阵序列都收敛.因此,对矩阵序列收敛到矩阵，记为 （9）而不强调是在那种范数意义下收敛.从定义及矩阵的行（列）范数可以直接推出下面定理.定理1 设矩阵序列及矩阵，则收敛于的充分必要条件为, 因此，矩阵序列的收 敛可归结为

2、元素序列的收敛.此外,还可以推出下面定理.定理2 迭代法（4）对任何都收敛的充分必要条件为 （10）定理3 矩阵序列收敛于0的充分必要条件为 （11）证明：如果,则在任一范数意义下有而由第六节定理4有所以必有 反之，若则存在足够小的正数，使,则第六节定理5可知,存在范数使，.于是因为所以定理 4：迭代法（4）对任意都收敛的充分必要条件为三、迭代法的收敛速度考察误差向量设B有n个线性无关的特征向量,相应的特征值为,由得可以看出，当愈小时，愈快，即愈快，故可用量来刻划迭代法的收敛快慢.现在来确定迭代次数k，使 （12）取对数得定义3 称 （13）为迭代法（4）的收敛速度.由此看出,愈小,速度R（B

3、）就愈大，（12）式成立所需的迭代次数也就愈少.由于谱半径的计算比较困难,因此,可用范数B来作为的一种估计.定理5 如果迭代矩阵的某一种范数，则对任意初始向量，迭代公式（4）收敛,且有误差估计式 （14）或 （15）证明 利用定理4和不等式,可以立即证得收敛的充分条件,下面推导误差估计式.因为方程组的精确解，则又,则由第六节定理7可知,I-B可逆，且 由于两边取范数即得 又由于所以，即有了定理5的误差估计式,在实际计算时,对于预先给定的精度，若有则就认为是方程组满足精度的近似解.此外，还可以用第二个估计式（15）来事先确定需要迭代的次数以保证第二节 雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法一、雅可比迭代

4、法设线性方程组的系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零,令并将A分解成 （2）从而（1）可写成 令其中. （3）以为迭代矩阵的迭代法（公式）称为雅可比（Jacobi）迭代法（公式）,用向量的分量来表示,（4）为其中为初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放及.例1 用雅可比迭代法求解下列方程组解：将方程组按雅可比方法写成取初始值按迭代公式进行迭代，其计算结果如表1所示 表1 0 1 2 3 4 5 6 70.720.9711.0571.08531.09511.0983 0.831.0701.15711.18531.19511

5、.19830.841.1501.24821.28281.29411.2980二、高斯塞德尔迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯塞德（Gauss-Seidel）迭代法.把矩阵A分解成 （6） 其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组（1）便可以写成其中 （7）以为迭代矩阵构成的迭代法（公式） （8）称为高斯塞德尔迭代法（公式）,用 量表示的形式为 （9

6、）由此看出,高斯塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元（计算出后不再使用,所以用冲掉,以便存放近似解.例2 用高斯塞德尔迭代法求解例1.取初始值，按迭代公式进行迭代，其计算结果如下表2表21.043081.093131.099131.099891.09999 1.10.9021.167191.195721.199471.199931.19999 1.21.16441.282051.297771.299721.299961.3 1.3从此例看出,高斯塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快（达到同样的精度所需迭代次数少）,但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方

7、法收敛，而高斯塞德尔迭代法却是发散的.三、迭代收敛的充分条件定理1 在下列任一条件下,雅可比迭代法（5）收敛. ; ; 定理2 设分别为雅可比迭代矩阵与高斯塞德尔迭代矩阵,则从而，当时，高斯塞德尔迭代法（8）收敛.由的定义,它们可表示成用表示维向量,则有不等式这里,记号表示其中矩阵的元素都取绝对值,而不等式是对相应元素来考虑的,于是容易验证所以,及可逆，且从而有因此必有因为已知所以.即高斯塞德尔迭代法收敛.若矩阵为对称，我们有定理3 若矩阵正定,则高斯塞德尔迭代法收敛.把实正定对称矩阵A分解为,则为正定的,迭代矩阵设是的任一特征值,为相应的特征向量,则以左乘上式两端,并由有用向量的共轭转置左乘

8、上式两端,得求上式左右两端的共轭转置,得以和分别乘以上二式然后相加,得由,得因为A和D都是正定的,且x不是零向量,所以由（11）式得,而由（12）式得, 即,从而,因而高斯塞德尔迭代法收敛.定义1 设为n阶矩阵.1 如果 （13）即A的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和，则称A为严格对角优势矩阵.2 如果且至少有一个不等式严格成立,则称A为弱对角优势矩阵.例如是严格对角优势矩阵，是弱对角优势矩阵.定义2 设是n阶矩阵，如果经过行的互换及相应列的互换可化为, 即存在n阶排列矩阵P,使其中为方阵，则称A是可约的,否则称A为不可约的.是可约矩阵,意味着可经过若干次行列重排,化为两

9、个低阶方程组,事实上, 可化为 ,记于是，求解化为求解可以证明,如果A为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则A是非奇异的.定理4 如果A为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则对任意,雅可比迭代法（4）与高斯塞德尔迭代法（8）均为收敛的.下面我们以A为不可约弱对角优势矩阵为例，证明雅可比迭代法收敛，其他证明留给读者.要证明雅可比迭代法收敛，只要证,是迭代矩阵.用反证法,设矩阵有某个特征值,使得,则,由于A不可约,且具有弱对角优势，所以存在，且从而 另一方面，矩阵与矩阵A的非零元素的位置是完全相同的，所以也是不可约的,又由于,且A弱对角优势，所以并且至少有一个i使不等号严格成立.因

10、此,矩阵弱对角优势，故为不可约弱对角优势矩阵.从而矛盾，故的特征值不能大于等于1，定理得证.第三节 超松驰迭代法逐次超松驰迭代法（Successive Over Relaxation Me thod,简称SOR方法）是高斯塞德尔方法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，它具有计算公式简单，程序设计容易,占用计算机内存较少等优点,但需要较好的加速因子（即最佳松驰因子）.下面我们首先说说松驰一词的含意,再利用它来解释雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法,最后给出逐次超松驰迭代法的推算公式和收敛性条件.其中可逆 ，且对角元素均不为0，如果 是（1）的近似解，一般说来 （2）不是0，这可理解

11、为“不合格”，把不合格的更换为新的近似解X，希望新的残向量r“变小”，想实现这一点的简单方法是每一次只把在（2）中的一个式（例如第i个）中的一个分量进行更换,使新的残向量的第i个分量变成0.这样,我们就说第i个方程被松弛了.一般都把第i个式中第i个元换掉,这相当于求使 （3）因此，雅可比迭代法将代换为的过程，实际上是对1in把 （4）变为 （5）的过程（松驰的过程）.由代换为还可看作是 （6）而修正量与修正公式可写成为倘若在修正量之前乘以一个因子，即以第i个分量为向量作新的近似向量（第k+1次迭代向量）代替原来的就得到所谓带松驰因子的迭代法.注意到,用（8）中的代替（4）中的,一般并不能使为0

12、，而为在（8）中取, 就是（7）中的,恰好使新的残量为0，这就使第i个方程松驰了；如，则用代换第i个方程中的将使残量由变成与有不同符号的新残量,于是我们就说第i个方程被松驰过头了（超松驰），或说被修改过分了（超过了使残量正好为0的程度）；如,则用代换第i个方程中的时,新残量与同号，并且当时，它的绝对值小于之绝对值，于是我们不妨认为第i个方程还松驰得不够（低松驰）或称被修改得不够，不管是超松驰还是低松驰（或）,我们一概都称为超松驰,即时,我们称为带松驰因子的同时迭代法（公式）.带松驰因子的同时迭代法用处并不大,讲它的目的只是为了解释迭代,修改和松驰的含意,使我们能容易懂得什么是逐次超松驰法.下面介绍什么是逐次超松驰法.类似于高斯塞德尔迭代法，在（11）式中用新的代替旧的 可得称为带松驰因子的逐个法或逐个超松驰迭代法（公式）.显然,（12）式可改写成 （13）为高斯塞德尔迭代所得，所以逐