直线和圆的方程知识及典型例题教育试题Word下载.docx

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的直线不能用此式

点斜式

y-y0=k（x-x0）

（x0，y0）—直线上已知点，

k──斜率

两点式

=

（x1，y1），（x2，y2）是直线上两个已知点

与两坐标轴平行的直线不能用此式

截距式

+=1

a—直线的横截距

b—直线的纵截距

过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式

一般式

Ax+By+C=0

（A、B不全为零）

A、B不能同时为零

数学基础知识与典型例题

直线和圆的方程

注:

⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法;

⑵确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.

⑶直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）是一一对应的.

例1.过点和的直线的斜率等于1,则的值为（）

（A）（B）（C）1或3（D）1或4

例2.若,则直线2cos＋3y＋1=0的倾斜角的取值范围（）

（A）（B）（C）（0,）（D）

例4.连接和两点的直线斜率为____,与y轴的交点P的坐标为____.

例5.以点为端点的线段的中垂线的方程是.

两直线的位置关系

一、两直线的位置关系

1.两直线平行:

⑴斜率存在且不重合的两条直线

l1∶y=k1x+b1，l2∶y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2;

⑵两条不重合直线的倾斜角为,

则∥.

2.两直线垂直:

⑴斜率存在的两条直线l1∶y=k1x+b1,l2∶y=k2x+b2,

则l1⊥l2k1·

k2=-1;

⑵两直线l1∶A1x+B1y+C1=0，l2∶A2x+B2y+C2=0，

则l1⊥l2A1A2+B1B2=0

3.“到角”与“夹角”:

⑴直线到的角（方向角）；

直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是.

①当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·

k2≠-1时,;

②当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.

例6.将直线

绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是（）

（A）（B）（C）（D）

例7.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2，4）重合，若点（7，3）与点（m,n）重合，则m+n的值为（　　）

（A）4（B）－4（C）10（D）－10

例8.与直线

平行且过点的直线的方程是__________。

例9.已知二直线

和

，若，在y轴上的截距为-1，则m=_____，n=____.

⑵两条相交直线与的夹角：

两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·

k2≠-1时，

则有.

4.距离公式。

⑴已知一点P（x0，y0）及一条直线l：

Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d=；

⑵两平行直线l1:

Ax+By+C1=0，l2:

Ax+By+C2=0之间的距离d=。

5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.

含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，

即旋转直线系和平行直线系.

⑴在点斜式方程y-y0=k（x-x0）中，

①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，

②当k确定，（x0，y0）变化时，该方程表示平行直线系.

⑵已知直线l：

Ax+By+C=0，

则①方程Ax+By+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系；

②方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。

⑶已知直线l1：

A1x+B1y+C1=0，

直线l2：

A2x+B2y+C2=0，

则方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0

表示过l1与l2交点的直线系（不含l2）

掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路.

例10.经过两直线

11x－3y－9＝0与

12x＋y－19＝0的交点，且过点（3,-2）的直线方程为_______.

例11.已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），

C（3，-2），求：

⑴BC边上的高所在直线方程；

⑵AB边中垂线方程；

⑶∠A平分线所在直线方程.

例12.已知定点

P（6，4）与定直线l1：

y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程.

简单的线性规划

线性规划

⑴当点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；

⑵当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>

0或Ax0+By0+C<

0。

这就是二元一次不等式的几何意义：

二元一次不等式Ax+By+C>

0（或<

0）表示直线Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。

利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。

这就是线性规划的内容。

例13.若点（3，1）和（，6）在直线的两侧，则实数的取值范围是

（D）以上都不对

例14.的三个顶点的坐标为，，，点在内部及边界上运动，则的最大值为　　　　，最小值为　　　　。

例15.不等式组：

表示的平面区域的面积是；

例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。

问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？

例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：

根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？

（利润=学费收入－年薪支出）

曲线和方程

曲线与方程：

在直角坐标系中,当曲线C和方程F（x，y）=0满足如下关系时：

1曲线C上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解；

2②以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F（x，y）=0表示的曲线；

方程F（x，y）=0是曲线C表示的方程.

⑴如果曲线C的方程是F（x,y）=0，那么点P0（x0,y0）在曲线C上的充要条件是F（x0,y0）=0

⑵解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。

其特征是以数解形,坐标法是几何问题代数化的重要方法。

⑶求曲线方程的步骤:

建、设、现（限）、代、化.

例18.点适合方程是点在曲线上的（）

（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）什么条件也不是

例19.曲线C：

与C：

的交点数是（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

例20.已知定点，，点M与A、B两点所在直线的斜率之积等于，则点M的轨迹方程是

例22.如图，圆与圆的半径都是1，.过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得.

试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.

圆的方程

确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。

一、圆的方程形式:

⑴圆的标准方程：

（x-a）2+（y-b）2=r2,其中（a,b）是圆心坐标,r是圆的半径；

⑵圆的一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>

0）,

圆心坐标为（-，-），半径为r=.

⑶圆的参数方程：

（x-a）2+（y-b）2=r2（r>

0）的参数方程为:

（为参数,表示旋转角），参数式常用来表示圆周上的点。

①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件,通常也用待定系数法;

②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.

③圆的直径式方程：

其中是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）.

二、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：

相离、相切、相交，判定方法有两种：

⑴代数法：

直线：

Ax+By+C=0，圆：

x2+y2+Dx+Ey+F=0，联立得方程组

一元二次方程

（2）几何法：

直线:

（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d=，则

三、圆和圆的位置关系：

设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：

①|O1O2|>

r1+r2两圆外离；

②|O1O2|=r1+r2两圆外切；

③|r1-r2|<

|O1O2|<

r1+r2两圆相交；

④|O1O2|=|r1-r2|两圆内切；

⑤0<

|O1O2|<

|r1-r2|两圆内含。

直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而一般不采用方程组理论（△法）.

四、圆的切线:

1.求过圆上的一点圆的切线方程:

先求切点与圆心连线的斜率,则由垂直关系,切线斜率为,由点斜式方程可求得切线方程;

2.求过圆外一点圆的切线方程:

⑴（几何方法）设切线方程为即,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得,切线方程即可求出.⑵（代数方法）设切线方程为,即代入圆方程得一个关于的一元二次方程,由,求得,切线方程即可求出.

①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.②过圆上一点的切线方程为.

例23.若直线与圆相切，则的值为（）

例24.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与（x+2）2+（y-2）2=9的位置关系是（）

（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离

例25.已知圆C与圆（x-1）2+y2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为（）

（A）（x+1）2+y2=1（B）x2+y2=1（C）x2+（y+1）2=1（D）x2+（y-1）2=1

例26.若直线4x-3y-2＝0与圆有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　）

（A）-3＜a＜7　　　（B）-6＜a＜4（C）-7＜a＜3　　　　（D）-21＜a＜19

例27.把参数方程（为参数）化为普通方程，结果是.

例28.过点的直线被圆截得的弦长为，则此直线的方程为

例29.圆的方程为x2+y2－6x－8y＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。

例30.已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0表示一个圆，

⑴求实数m取值范围；

⑵求圆的半径r取值范围；

⑶求圆心轨迹方程

数学基础知识与