塑性变形力学计算Word文档格式.docx
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P力作用点的位移是
-R、aPabEAEA（a+b）
如b>
a则尺〉忌。
随着P的增加,
AC段
的应力将首先达到屈服极限。
若相应
的载荷
为片,载荷作用点的位移为由
（"
）、3）
两式求得
片=Aas（a+b）
山平衡方程可知
R2=P-Abs
载荷作用点C的位移为
EA
（c）
（d）
载荷达到人后，整个杆件都已进入塑性变形。
例18.1在图15.9"
所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为A。
试求使结构开始出现塑性变形的载荷片、极限载荷Pp。
解：
以M和M分别表AC和AD杆的轴力，弘表曲杆的轴力。
令£
广乓，
当载荷逐渐增加时，A3杆的应力首先达到6,这时的载荷即为A。
由（e）式的第二式得
N：
=Acrs=—
1+2cos3a
由此解出
A=Acrs（l+2cos'
a）
载荷继续增加，中间杆的轴力M保持为人耳，两侧杆件仍然是弹性的。
直至两侧的杆件的轴力M也达到人6,相应的载荷即为极限载荷Pp。
这时由节点A的平衡方程知
<
=2Aascosa+=>
lcrs（2cosa+1）
加载过程中，载荷P与A点位移的关系已表示于图15.9方中。
15.4圆轴的塑性扭转
圆轴受扭时，横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，即
.TP
图
随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限入
（图15.10"
）。
若相应的扭矩为A,由（“）式知
r2（b）
极限扭矩7V,其值为
%十W
取dA=2npdp代入上式后完成积分，得
Tv=Z兀忙t
3（15.4）
达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。
例18.2设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图15.11"
所示，并可近似地表为
rm=B/
式中m和B皆为常量。
试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。
根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用3・4中的（。
）式，求得横截面上任意点处的剪应变为
Yp=P
d（t）
lx
式中药是扭转角沿轴线的变化率，Q为横截面上一点到圆心的距离，汗即为该点剪应变。
（d）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图15.14）。
由"
）、（〃）两式求出
（e）
或者写成
（f）
横截面上的扭矩应为
_T3/72+\_Tr3m+1fx2兀广'
mIpAm
当〃7=1时，材料变为线弹性的，上式变为
由（£
）式知
故有
业=益=丄“3〃?
+if
dxBrBrI?
4m丿
积分求得相距为/的两个横截面的相对扭转为
当m=l,B=G时,上式化为
这就是公式（3.17）o
15.5塑性弯曲和塑性铉
15.5.1纯弯曲
根据平面假设，横截面上距中性轴为y的点的应变为
P（a）
丄
式中。
是曲线的曲率。
静力方程:
JbdA=0
IyerclA=M
在线弹性阶段，有
My
b=———
I（d）
若以Mi表示开始出现塑性变形时的弯距，由（“）式知
ymax
载荷逐渐增加，横截面上塑性区逐渐扩大，且塑性区内的应力保持为6（图
10.12〃）。
最后，横截面上只剩下邻近中性轴的很小区域内材料是弹性的。
此时,
无论在拉应力区或压应力区，都有
如以儿和人2分别表示中性轴两侧拉应力区和压应力区的面积，则静力方程（方）化为
fadA=fasdA-[asdA=as-A2）=0JAJA|JA?
A]=A?
若整个横截面面积为A,则应有
Aj+A2=A
A,==—
（15.5）
一2
极限情况下的弯矩即为极限弯矩“卩，曲静力方程"
）得
Mp=Jya/A=crs
JA
L+WA卜込％歹2+A“2）
|2）
式中耳和冃分别是人和仏的形心到中性轴的距离。
利用公式（18.5）乂可把上
式写成
【例13.3】在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变
形时的弯矩Mi和极限弯距M%
对矩形截面梁（图15.13）,III（0）式得开始出现塑性变形的弯矩“I为
由公式（15.13）求得极限弯矩“卩为
Mp=丄As（牙+%）=丄肋4-+-U—
卩2SV,?
2/2（44丿4
Mi和Mp之比为
K=1-5
所以从出现塑性变形到极限情况，弯矩增加了50%o
对圆截面梁，
/crsnr
—=—crS
!
3兀3龙
从开始塑性变形到极限情况，弯矩增加70%。
15.5.2横力弯曲
横力弯曲情况下，弯矩沿梁轴线变化，横截面上除弯矩外还有剪力。
图13.14"
中阴影线的部分，为梁内形成的塑性区。
把坐标原点放在跨度中点，并将坐标为％的横截面上的应力分布悄况放大成图15.14°
。
在这一截面的塑性区
y
b=bs—
内，b=bs；
弹性区内，5。
〃为塑性区和弹性区的分界线到中性轴的距
离。
故截面上的弯矩应为
还可山载荷及反力算岀这一横截面上的弯矩为
令以上两式相等，得
这就是梁内塑性区边界的方程。
设开始出现塑性变形的截面的坐标为"
，在（/）
h
〃=—
式中，令x=a,2,得
山此求得塑性区的长度为
bs・
/1-
max7
式中
Pl
T
随着载荷的增加，跨度中点截面上的最大弯矩最终达到极限值Mpo
15.6梁的塑性分析
M上
对图13.14"
中的静定梁，跨度中点截面上的最大弯矩为ma'
4。
当"
max达
到极限弯矩必卩时，梁就在最大弯矩的截面上出现塑性狡。
这就是梁的极限状态,
这时的载荷
也就是极限载荷Pp。
Mp=乐
若梁的截面为矩形，4\于是极限载荷为
对其他形式的静定梁，也可按同样的方法进行塑性分析。
以图15.15"
所示静不定梁为例，说明静不定梁塑性分析的特点。
根据塑性狡上的力偶矩为旳卩，并利用平衡方程，便可求得极限载荷。
由图
15.所示极限状态为例，由BC段的平衡方程工叫=°
得
再曲整条梁的平衡方程工叫,得
把心的值代入上式后，解出
例15.4在均布载荷作用下的静不定梁如图15.16"
所示。
试求载荷9的极
限值彳p。
梁的极限状态一般是跨度或跨度BC变成机构。
现将上述两种情况分别进行讨论。
要使跨变成机构，除人、3两截面形成塑性狡外，还必须在跨度内的某一截面D上形成塑性狡（图13.16°
由于对称的原因，塑性铁D—定在跨度r=r=qi
中点，且A—B_TO再由AD部分的平衡方程工％=°
将Ra代入上式，解出
16Mp
这是使43跨达到极限状态时的均布载荷。
现在讨论跨度BC。
要使它变成机构，除支座截面B要成为塑性较外，还要
在跨度内的某一截面E上形成塑性狡。
设截面E到支座C的距离为J这样可把
BC跨分成图15.16〃中的BE和EC两部分。
对这两部分分别列岀以下平衡方程:
工％=0，叭-纸2
2►
XmB=0,2MP--（Z-«
）2=0
2（b）
从以上两式中消去Mp,得
a2+2al-l2=0
a=（-1±
\[2）1
显然应取J㊁前的正号，即
n=（V2-l）I
将"
的值代入（b）式的第一式，即
2Mp
（V2-1）2/2
=11.6MP//2
这是使BC跨达到极限状态时的均布载荷。
比较（&
）、（c）两式，可见整个静不定梁的极限载荷是?
P=ll“Mp//2。
15.7残余应力的概念
载荷作用下的构件，当其某些局部的应力超过屈服极限时，这些部位将出现塑性变形，但构件的其余部分还是弹性的。
如再将载荷解除，已经发生塑性变形的部分不能恢复其原来尺寸，必将阻碍弹性部分的变形的恢复，从而引起内部相互作用的应力，这种应力称为残余应力。
例15.6在矩形截面梁形成塑性区后，将载荷卸尽，试求梁截面边缘处的应力。
设材料是理想弹塑性的。
当矩形截面梁的横截面上出现塑性区时，应力分布表示于图15.14^o根据公式（15.7）,截面上的弯矩为
这时梁内的最大应力为云。
卸载过程相当于把与上列弯矩数值相等、方向相反的另一弯矩加于梁上，且它引起的应力按线弹性公式计算，即最大应力为
叠加两种情况，得截面边缘处的残余应力为
曲正弯矩引起的残余应力，在上边缘处为拉应力，下边缘处为压应力，如图
15.18〃所示。
15.8塑性条件和塑性曲面
受力构件一点处的应力状态，山它的三个主应力来表示。
按照第三强度理论，如对主应力的记号采取5»
勺》6的规定，材料开始
屈服的塑性条件为公式（15.2）o如对主应力的记号不采取的规定,即502,6中的任一个都可能是最大或最小的主应力，这时塑性条件（15.2）应写成
I"
_6|=内
02_6|=6
在二向应力状态下，6=0,以上条件变为
塑性条件（b）在66平面中是一个六角形，如图15.19所示。
在三向应力的情况下，塑性条件（a）在应力空间中是六个平面。
这就是特雷斯卡塑性条件的儿何表示。
如图15.20所示。
柱面以内的点代表不发生塑性形变的应力状态，而柱面上的点代表进入塑性形变的应力状态。
这样的柱面称为塑性曲面。
按照第四强度理论，材料的塑性条件为公式（15.3）,即
（5-6F-bJ+&
-<
t,）2=2穴（c）
在二向应力状态下，6=0,以上塑性条件化为
在56平面内（图15.19）,由（d）式所表示的塑性条件是上述六角形的外接椭圆①。
在三向应力状态下，（C）式即为塑性曲面的方程式，它是上述六角柱形面的外接圆柱面（图15.21,a）oIII第三强度理论和第四强度理论确定的这两个塑性曲面有共同的轴线，其方向余弦是
图15.21（①在主应力空间中的米泽斯塑性条件（①当S+b2+b3=°
时的塑性条件
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