备战高考高考数学一轮复习热点难点精讲专题20函数的一大要素yAsinwxt的解析式的求解Word文件下载.docx
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ωx＋φ
π
2π
y＝Asin（ωx＋φ）
A
－A
（2）作图：
在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin（ωx＋φ）在一个周期内的图象．
（3）扩展：
将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin（ωx＋φ）在R上的图象．
2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的两种途径
3．函数y＝Asin（ωx＋φ）的物理意义
当函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>
0，ω>
0），x∈表示一个振动量时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
应用举例:
类型一、确定三角函数的解析式和振幅、初相、相位
【例1】【山东省乐陵市第一中学2019届高三一轮复习检测试题】函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为
A．
2xB．
2x
C．D．
【答案】D
将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的解析式为
．
故选D．
【点睛】
已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
（1）五点法，由即可求出ω；
确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（或ωx0＋φ＝π），即可求出φ；
（2）代入法，利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．
【例2】【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A．函数的周期为
B．函数为奇函数
C．函数在上单调递增
D．函数的图象关于点对称
【答案】B
类型二、函数解析式的综合问题
【例3】【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷一】要得到函数的图像，只需将函数的图像（）
A．向左平移个周期B．向右平移个周期
C．向左平移个周期D．向右平移个周期
点睛：
三角函数图像的平移，应将三角函数名变为同名。
左右平移，应遵循“左加右减”的原则。
加减是相对于本身加减。
【例4】【山东省2018年普通高校招生（春季）考试】若由函数的图像变换得到的图像，则可以通过以下两个步骤完成:
第一步，把图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变:
第二步，可以把所得图像沿轴（）
A．向右移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．同左平移个单位
【答案】A
方法、规律归纳:
1、的作用
（1）称为振幅，与一个周期中所达到的波峰波谷有关
（2）：
称为频率，与的周期相关，即
（3）：
称为初相，一定程度上影响的对称轴，零点
2、的常规求法：
（1）：
①对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到
②对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：
由可得：
只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
①如果相邻的两条对称轴为，则
②如果相邻的两个对称中心为，则
③如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则
注：
在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。
在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围
实战演练:
1．【安徽省六安市舒城中学2018届高三仿真（三）】函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
本题主要考查了函数的图象变换，要根据图形中的条件求出函数的解析式，然后结合诱导公式求出结果，属于基础题。
2．【宁夏银川一中2018届高三第四次模拟考试】已知函数的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为
A．B．C．D．
本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．
3．【福建省厦门市湖滨中学2018届高三下学期高考适应性考试】将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后新函数图象的对称轴方程为（）
4．已知函数，其函数图象向右平移个单位后得到的图象如图所示，则
A．0B．C．D．
【解析】
【分析】
根据题意先求得图中图象对应的函数的解析式，再结合图象得到的值，进而得到函数的解析式，最后求出函数值即可．
解题时注意函数图象的平移变换，合理利用以下结论：
①沿x轴平移：
由y＝f（x）变为y＝f（x＋φ）时，“左加右减”，即φ>
0时向左移；
φ<
0时向右移．
②沿y轴平移：
由y＝f（x）变为y＝f（x）＋k时，“上加下减”，即k>
0时向上移；
k<
0时向下移．
5．有以下四种变换方式：
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变；
把各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度；
其中能将函数的图象变为函数的图象的是
A．和B．和C．和D．和
三角函数图象变换中应注意的问题
（1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
（2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象；
（3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asinx到y＝Asin（x＋φ）的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asinωx到y＝Asin（ωx＋φ）时，变换量是个单位．
6．【浙江省杭州市学军中学2017届高三上学期第三次月考】将函数的图象经怎样平移后所得的图象关于点中心对称（）
A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移
7．【宁夏平罗中学2018届高三第四次（5月）模拟】已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则下列结论中不正确的是
A．B．是图象的一个对称中心
C．D．是图象的一条对称轴
【答案】C
函数的图象向右平移个单位，可得,的图象关于轴对称，所以,时可得，故，，不正确，故选C.
8．【河南省安阳市35中2018届高三核心押题1】要得到函数的图象，只需要函数的图象（）
9．【陕西省黄陵中学2018届高三6月模拟考】已知函数．将的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象关于轴对称，则关于函数，下列命题正确的是（）
A．函数在区间上有最小值B．函数的一条对称轴为
C．函数在区间上单调递增D．函数的一个对称点为
通过三角函数图像的平移求出平移后的表达式，然后结合图像关于轴对称求出的值，继而判断命题的真假
【详解】
10．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试】设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）
要使最小，则为函数的最小正周期．
由题意，．
故选A．
本题考查的图象与性质．考虑到此函数的周期性，因此图象向左（或右）平移的单位为一个周期或周期的整数倍，则所得图象与原图象重合．此类题常常与正弦函数的性质联系得解．
11．【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体2017届高三上学期半期联考】将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）
12．【广东省汕头市潮南区2018届高考（5月）冲刺】已知函数，下列结论中错误的是（）
A．的图像关于中心对称
B．在上单调递减
C．的图像关于对称
D．的最大值为
13．【四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊模拟考试】将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为（）
A．B．
14．【山西省太原市2018届高三第三次模拟考试】已知函数的一个对称中心是，且，要得到函数的图象，可将函数的图像（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【解析】分析：
结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
详解：
∵函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），∴+φ=kπ+，k∈Z，
故可取φ=﹣，f（x）=2cos（x﹣），满足f
（1）＞f（3），
故可将函数y=2cosx的图象向右平移个单位，得到f（x）=2cos（x﹣）的图象，
故选：
A．
由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：
先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（），便得的图象.
途径二：
先周期变换（伸缩变换）再平移变换：
先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（），再沿轴向左（）或向右（）平移个单位，便得的图象.
15．【北京西城八中2017届高三上学期期中考试】将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（）．
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