《求数列通项公式的待定系数法和特征方程法》的说明Word格式.docx

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可以是常数型、一次函数型、二次函数型、指数函数型等等

1、可以是常数，如；

2、可以是一次函数型，如；

3、可以是二次函数型，如；

4、可以是指数函数型，如；

等等。

其中是不完整一次函数型表达式，完整的一次函数型表达式是；

是不完整的二次函数型表达式，完整的二次函数型表达式是。

（三）关于要转化为形如标准形式的说明。

是指：

①，设代入化为；

②，设代入化为；

③，设代入化为；

④，设代入化为；

⑤，设代入化为；

⑥标准式或化为标准式后，左边有系数，如，要把的系数化为“1”，即要把表达式化为“”。

转换为标准式后，出现的等等形式的式子，要经过多项式的恒等变形化成的形式

（四）关于确定表达式的说明。

确定中的，要注意以下几点：

1、必须是化为标准式后的；

2、若是不完整的一次函数型、二次函数型，要补为完整的一次函数型、二次函数型表达式，如：

①要补齐为；

②要补齐为；

③要补齐为；

④要补齐为等等。

3、根据补齐为完整的确定的，确定的表达式。

如补齐后为，则补齐后的

4、根据补齐为完整的确定的、，对表达式、中的常数（含系数）改变为待定系数等，如补齐为完整的表达式，确定后，对表达式、中的常数（含系数）改变为待定系数，即变为，

（五）列含待定系数的表达式。

根据第4步变成待定系数表达式后列表达式：

，如（注意中的系数一定要提到外面作为公因数）。

（六）根据列出的含待定系数的表达式，对进行多项式恒等变形，变成形如，后与条件中转化为标准式子后的系数进行比较，列出方程或方程组，解出待定系数后，代入式子，确定是等比数列还是等差数列，再进一步求出通项公式。

（七）例题（注：

以下解题步骤是按上面的步骤一步一步来的，目的是便于理解，具体考试中不必这样做）

1、常数型。

形如

已知数列，，求数列的通项公式。

解：

（1）转化为标准形式。

令，则原条件变为；

（2）确定表达式中的。

；

（3）根据确定的，确定的表达式。

（4）根据确定的、，对表达式、中的常数改变为待定系数。

即；

（5）列含待定系数的表达式。

（注意中的系数一定要提到外面作为公因数）；

（6）根据列出的含待定系数的表达式，进行多项式恒等变形。

（7）列出方程，解出，解出待定系数后，代入式子，即

（8）由可知，数列是等比数列，公比为2。

故当时，

2、一次函数数型。

（A）已知数列，，求数列的通项公式。

条件中就已为标准形式，不需转换；

因为是一次函数型，不是完整的一次函数型表达式，补齐为完整的一次函数型表达式，；

（4）根据确定的、，对表达式、中的常数（含系数）改变为待定系数。

（注意中的系数3一定要提到外面作为公因数）；

（7）与对比，列出方程组，，解出待定系数后，代入式子

（8）由可知，数列是等比数列，公比为3。

故当时，。

（B）已知数列，，求数列的通项公式。

因为系数为2，所以条件中等式两边同除以2得：

为一次函数型；

（8）由可知，数列是等比数列，公比为。

3、二次函数数型。

因为是二次函数型，是一完整表达式，不需补齐；

（6）根据列出的含待定系数的表达式，进行多项式恒等变形。

（7）与对比，列出方程组，，解出待定系数后，代入式子；

（8）由可知，数列是等比数列，

公比为2。

。

因为是二次函数型，不是一完整表达式，需补齐，；

（C）已知数列，，求数列的通项公式。

（8）由可知，数列是等比数列，公比为2。

（D）已知数列，，求数列的通项公式。

4、指数函数型。

因为是指数函数型，是一完整表达式，不需补齐；

（7）与对比，得，解出待定系数后，代入式子；

二、特征方程法（结论要非常熟练掌握）

（一）1、形如，的二阶递推数列都可用特征根法求通项公式，但若条件中二阶递推式不是标准形的，要如同“待定系数法”中的第1步样，化为标准的二阶递推式，要保证的系数为“1”.

2、列出特征方程，解出方程的根；

若

1，则可令；

2，则可令

再利用，可求得，进而求得

例题（A）已知数列，，求数列的通项公式。

（1）该条件为标准的二阶递推式；

（2）的特征方程为：

，解得；

（3）因为，可令；

（4），

例题（B）已知数列，，求数列的通项公式。

（5）因为，可令；

（6），

（二）1、分式线性递推数列可用特征方程法求通项公式，但若条件中分式线性递推式不是标准形的，要如同“待定系数法”中的第1步样，化为标准的分式线性递推式。

2、若式中，则采用“倒数法”求通项公式；

3、若式中，则采用特征方程法。

特征方程为，求出，若

①，则为等比数列，公比为；

令，则，则有

②，则为等差数列，公差为；

（1）该条件化为标准的分式线性递推式，；

（3）因为，则为等比数列，公比为，令，则；

则有，故

（C）已知数列，，求数列的通项公式

（1）该条件为标准的分式线性递推式；

（3）因为，，则为等差数列，公差为，令，则；

则有。

在解数列通项公式时，要验证解出的当时会不会与给出的值相同，若不同，则应用组合表达式表示数列的通项公式。