第三章非线性方程组的数值解法.docx
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第三章非线性方程组的数值解法
第三章非线性方程（组）的数值解法
一．取步长，试用搜索法确立含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于。
【详解】
由于是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。
，
，，，因此，中有一个正根。
这就确立了含根区间。
接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于，计算结果如下表
迭代次数
0
2
3
2.5
1
2
2.5000
2.2500
2
2
2.2500
2.1250
3
2
2.1250
2.0625
4
2.0625
2.1250
2.0938
5
2.0938
2.1250
2.1094
6
2.0938
2.1094
2.1016
7
2.0938
2.1016
2.0977
8
2.0938
2.0977
2.0957
9
2.0938
2.0957
2.0947
二．对方程，用二分法求其在区间内的根，要求误差小于0.01。
【详解】
用二分法求解方程在内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表：
迭代次数
0
1.5
2
1.75
1
1.7500
2.0000
1.8750
2
1.8750
2.0000
1.9375
3
1.9375
2.0000
1.9688
4
1.9375
1.9688
1.9531
5
1.9531
1.9688
1.9609
三．用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程
在附近的根，要求误差小于。
【详解】
，等价于。
这样，可以建立不动点迭代格式
。
当时，总有，因此，迭代格式对于任意初始值总是收敛的。
取，用所建立的不动点迭代格式求解近似根，要求误差小于，计算结果如下表：
迭代次数
0
1.5
1
1.35721
2
1.33086
3
1.32588
4
1.32494
5
1.32476
6
1.32473
7
1.32472
8
1.32472
四．建立收敛的不动点迭代格式，求解方程
在内满足精度要求的根。
【详解】
方程恒等变形，得到。
这样，就得到了一个不动点迭代格式。
当，，且
。
因此，对任意，不动点迭代格式都收敛。
选，用所建立的不动点迭代格式求方程在的近似根，计算结果如下表
迭代次数
0
2.5
1
2.154434690
2
2.103612029
3
2.095927410
4
2.094760545
5
2.094583250
6
2.094556309
7
2.094552215
8
2.094551593
9
2.094551498
10
2.094551484
11
2.094551481
五．为求方程在附近的一个根，将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代格式：
（1），迭代格式为；
（2），迭代格式为；
（3），迭代格式为。
讨论每种迭代格式的收敛性，并用格式
（2）求出精度为的根的近似值。
【详解】
（1），，，因此，该迭代格式在是局部收敛的。
（2），，
因此，该迭代格式在是局部收敛的。
（3），，
因此，该迭代格式在是不局部收敛的。
现在用格式
（2）求出精度为的根的近似值，选，计算结果如下表：
迭代次数
0
1.5
1
1.4812
2
1.4727
六．给定方程
（1）分析该方程有几个根；
（2）用迭代格式求出这些根，要求误差小于。
【详解】
（1）,,因此，内必有根。
，因此，单调递增。
这样，方程有且只有一个根。
（2），，因此，对任意，迭代格式都是收敛的。
取，用该迭代格式求解，要求误差小于。
计算结果如下
迭代次数
0
0
1
0.5000
2
0.4388
3
0.4526
4
0.4496
5
0.4503
七．用Newton法求解在区间内满足精度要求的根。
【详解】
，因此，其Newton迭代格式为
选初始值为，用Newton法求解方程在内满足精度要求的根，计算结果如下表：
迭代次数
0
2.5
1
2.164179104
2
2.097135356
3
2.094555232
4
2.094551482
5
2.094551482
八．用Newton建立求解正数的平方根近似值的迭代算法，并求满足精度要求的近似值。
【详解】
是方程的正根，因此，计算近似值的Newton迭代格式为。
以下用这个迭代格式求满足精度要求的近似值。
考虑到，我们可以取初始值。
计算结果如下表：
迭代次数
0
10
1
10.7500
2
10.7238
3
10.7238
九．试导出计算的Newton迭代公式，使公式中既无开方运算又无除法运算，并取计算满足精度要求的近似值。
【详解】
是方程的正根，自然也是方程的根。
计算的Newton迭代格式可以是
取计算满足精度要求的近似值，计算结果如下表：
迭代次数
0
0.5
1
0.5625
2
0.5768
3
0.5773
十.用割线法求解在区间内满足精度要求
的根。
【详解】
，由此，建立相应的割线法迭代格式如下
以下用该迭代格式求方程在区间内满足精度要求的根，选，，计算结果如下表：
迭代次数
0
2
1
3
2
2.058823529
3
2.081263660
4
2.094824146
5
2.094549431
6
2.094551481
7
2.094551482
十一.给定非线性方程
（1）证明该方程只有唯一正根，并取步长搜索含有该正根的区
间；
（2）选定适当的初值分别用Newton法和割线法求解该正根，要求误差小于。
【详解】
（1），因此，按照一元二次方程的理论，方程有一正根，一负根。
令，则，，
，因此，为含正根的区间。
（2）Newton迭代格式为
割线法迭代格式为
取，利用上面所建立的Newton迭代格式，求方程的近似解，要求误差小于，计算结果如下表：
迭代次数
0
1.5
1
1.831034483
2
1.800270388
3
1.800000021
4
1.800000000
5
1.800000000
取，，用上面建立的割线法求方程的近似解，要求误差小于，计算结果如下表：
迭代次数
0
1
1
2
2
1.744827586
3
1.796972564
4
1.800048530
5
1.799999958
6
1.800000000
7
1.800000000
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