第三章直线与方程教案.docx
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第三章直线与方程教案
第三章直线与方程
本章教材分析
直线与方程是平面解析几何初步的第一章,用坐标法研究平面上最简单的图形——直线.
本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:
点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:
平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.
解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是,首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.
本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数方法的使用过程中,加强与图形的联系.
直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.只有学好本章才能为第四章的圆与方程做好准备和铺垫.教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学，同时渗透常用的数学思想方法（数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入浅出的引导学生自己发现规律，大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并且及时鼓励，使同学们能愉快的、轻松的学习，并且提高他们应用所学知识解决问题（尤其是实际问题）的能力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用”，这一点也正符合新课标的要求和精神.
本章教学时间约9课时，具体分配如下（仅供参考）：
3.1.1
倾斜角与斜率
约1课时
3.1.2
两直线平行与垂直的判定
约1课时
3.2.1
直线的点斜式方程
约1课时
3.2.2
直线的两点式方程
约1课时
3.2.3
直线的一般式方程
约1课时
3.3.1
两条直线的交点坐标
约1课时
3.3.2
两点间的距离
约1课时
3.3.3及3.3.4
点到直线的距离及两条平行线间的距离
约1课时
本章复习
约1课时
3.1直线的倾斜角与斜率
3.1.1倾斜角与斜率
三维目标
1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想.
2.掌握经过两点P1（x1,y1）和P2（x2,y2）的直线的斜率公式：
k=
（x1≠x2），培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.
重点难点
教学重点:
直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.
教学难点:
斜率公式的推导.
教学过程
导入新课
思路1.如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？
教师引入课题：
直线的倾斜角和斜率.
图1
思路2.我们知道,经过两点有且只有（确定）一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?
这些直线有什么联系和区别呢?
教师引入课题：
倾斜角与斜率.
新知探究
提出问题
①怎样描述直线的倾斜程度呢？
②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？
如果不对，违背了定义中的哪一条？
图2
③直线的倾斜角能不能是0°？
能不能是锐角？
能不能是直角？
能不能是钝角？
能不能是平角？
能否大于平角？
④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
⑤正切函数的定义域是什么？
⑥任何直线都有斜率么？
⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？
如：
已知A（2，3）、B（－1，4），则直线AB的斜率是多少?
活动:
①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
可见：
平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了.
②考虑正方向.
③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.
规定：
当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°.
④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.
⑤教师介绍正切函数的相关知识.
⑥说明：
直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率.
（倾斜角是90°的直线没有斜率）
⑦已知直线l上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？
教学时可与教材上的方法一样推出.
讨论结果:
①用倾斜角.
②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背.
③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角.
④有，常用的有坡度比.
⑤90°的正切值不存在.
⑥倾斜角是90°的直线没有斜率.
⑦过两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）的直线的斜率公式k=
.
课堂小结
通过本节学习，要求大家：
（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率;
（2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；
（3）直线斜率的概念；
（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法.
作业
习题3.1A组3、4、5.
3.1.2两条直线的平行与垂直
三维目标
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
2.通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力．
3.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．
重点难点
重点：
两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
难点：
启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
教学过程
导入新课
（一）先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
讨论:
两条直线中有一条直线没有斜率,
（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；
（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
（二）两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直
设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是:
两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?
新知探究
提出问题
首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形．如果L1∥L2（图1-29），那么它们的倾斜角相等：
α1=α2．（借助计算机,让学生通过度量,感知α1,α2的关系）
∴tgα1=tgα2．
即 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等:
即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
又∵两条直线不重合，
∴L1∥L2．
结论:
两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意:
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2;反之则不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1（图1-30），甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
，
可以推出 :
α1=90°+α2．L1⊥L2．
结论:
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意:
结论成立的条件.即如果k1·k2=-1,那么一定有L1⊥L2;反之则不一定.
（借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使L1（或L2）转动起来,但仍保持L1⊥L2,观察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证.转动时,可使α1为锐角,钝角等）.
例题
例1 已知A（2,3）,B（-4,0）,P（-3,1）,Q（-1,2）,试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.
分析:
借助计算机作图,通过观察猜想:
BA∥PQ,再通过计算加以验证.（图略）
解:
直线BA的斜率k1=（3-0）/（2-（-4））=0.5,
直线PQ的斜率k2=（2-1）/（-1-（-3））=0.5,
因为k1=k2=0.5,所以直线BA∥PQ.
例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0,0）,B（2,-1）,C（4,2）,D（2,3）,试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.（借助计算机作图,通过观察猜想:
四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证）
解同上.
例3已知A（-6,0）,B（3,6）,P（0,3）,Q（-2,6）,试判断直线AB与PQ的位置关系.
解:
直线AB的斜率k1=（6-0）/（3-（-6））=2/3,
直线PQ的斜率k2=（6-3）（-2-0）=-3/2,
因为k1·k2=-1所以AB⊥PQ.
例4 已知A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）,试判断三角形ABC的形状.
分析:
借助计算机作图,通过观察猜想:
三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通过计算加以验证.（图略）
课堂小结
（1）两条直线平行或垂直的真实等价条件；
（2）应用条件,判定两条直线平行或垂直.
（3）应用直线平行的条件,判定三点共线.
作业
习题3.2A组6、7、8.
3.2直线的方程
3.2.1直线的点斜式方程
三维目标
1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.
2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.
重点难点
教学重点:
引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.
教学难点:
在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.
教学过程
导入新课
思路1.方程y=kx＋b与直线l之间存在着什么样的关系？
让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即
（1）直线l上任意一点P（x1,y1）的坐标是方程y=kx＋b的解.
（2）（x1,y1）是方程y=kx+b的解
点P（x1,y1）在直线l上.
这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程（宣布课题）.
思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程（宣布课题）.
新知探究
提出问题
①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？
如何根据所给条件求出直线的方程？
②已知直线l的斜率k且l经过点P1（x1,y1），如何求直线l的方程?
③方程导出的条件是什么？
④若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？
⑤k=
与y-y1=k（x-x1）表示同一直线吗？
⑥已知直线l的斜率k且l经过点（０，ｂ），如何求直线l的方程？
讨论结果:
①确定一条直线需要两个条件:
a.确定一条直线只需知道k、b即可；
b.确定一条直线只需知道直线l上两个不同的已知点.
②设P（x，y）为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=
化简,得y－y1=k（x－x1）.
③方程导出的条件是直线l的斜率k存在.
④a.x=0；b.x=x1.
⑤启发学生回答:
方程k=
表示的直线l缺少一个点P1（x1,y1）,而方程y－y1=k（x－x1）表示的直线l才是整条直线.
⑥y=kx+b.
应用示例
思路1
例1一条直线经过点P1（-2,3）,倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.
图1
解:
这条直线经过点P1（-2,3）,斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,
这就是所求的直线方程,图形如图1所示.
点评:
此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.
变式训练
求直线y=-
（x-2）绕点（2,0）按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.
解：
设直线y=-
（x-2）的倾斜角为α，则tanα=-
，
又∵α∈［0°,180°），
∴α=120°.
∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.
例2如果设两条直线l1和l2的方程分别是l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2，试讨论:
（1）当l1∥l2时，两条直线在y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？
为什么？
（2）l1⊥l2的条件是什么？
活动:
学生思考：
如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？
何时不成立？
由此可知：
如果l1∥l2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：
如果b1≠b2且k1=k2，则l1与l2的位置关系是怎样的？
由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.
解:
（1）当直线l1与l2有斜截式方程l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2时，直线l1∥l2
k1=k2且b1≠b2.
（2）l1⊥l2
k1k2=-1.
变式训练
判断下列直线的位置关系:
（1）l1:
y=
x+3,l2:
y=
x-2;
（2）l1:
y=
x,l2:
y=-
x.
答案：
（1）平行；
（2）垂直.
课堂小结
通过本节学习，要求大家：
1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.
2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.
作业
习题3.2A组2、3、5.
3.2.2直线的两点式方程
三维目标
1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.
2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
重点难点
教学重点:
直线方程两点式和截距式.
教学难点:
关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.
教学过程
导入新课
思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？
点斜式方程是怎样推导的？
利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线l经过两点P1（1,2）,P2（3,5）,求直线l的方程.
（2）已知两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）（其中x1≠x2,y1≠y2），求通过这两点的直线方程.
思路2.要学生求直线的方程，题目如下：
①A（8，-1），B（-2，4）；
②A（6，-4），B（-1，2）；
③A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）.
（分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程）
这个答案对我们有何启示？
求解过程可不可以简化？
我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?
新知探究
提出问题
①已知两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）（其中x1≠x2,y1≠y2），求通过这两点的直线方程.
②若点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？
③两点式公式运用时应注意什么？
④已知直线l与x轴的交点为A（a,0），与y轴的交点为B（0,b），其中a≠0,b≠0，求直线l的方程.
⑤a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？
⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？
活动:
①教师引导学生：
根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？
能不能把问题转化为已经解决的问题呢？
在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：
已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：
a.利用直线的斜率公式求出斜率k;
b.利用点斜式写出直线的方程.
∵x1≠x2,k=
∴直线的方程为y-y1=
（x-x1）.
∴l的方程为y-y1=
（x-x1）.①
当y1≠y2时,方程①可以写成
.②
由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.
注意：
②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1），那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.
②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.
③引导学生注意分式的分母需满足的条件.
④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？
可以用多少方法来求直线l的方程？
哪种方法更为简捷？
然后求出直线方程.
因为直线l经过（a，0）和（0，b）两点，将这两点的坐标代入两点式，得
.①
就是
=1.②
注意：
②这个方程形式对称、美观,其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距.
因为方程②是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式.
⑤注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.
⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.
讨论结果：
①若x1≠x2且y1≠y2,则直线l方程为
.
②当x1=x2时，直线与x轴垂直，直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.
③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示（因为x1≠x2,y1≠y2）.
④
=1.
⑤a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.
⑥截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.
应用示例
思路1
例1求出下列直线的截距式方程：
（1）横截距是3，纵截距是5；
（2）横截距是10，纵截距是-7；
（3）横截距是-4，纵截距是-8.
答案：
（1）5x+3y-15=0；
（2）7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.
变式训练
例2如图1,已知三角形的顶点是A（－5，0）、B（3，－3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程.
图1
活动:
根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式.
解：
AB所在直线的方程，由两点式,得
即3x+8y+15=0.
BC所在直线的方程，由斜截式,得y=-
x+2,即5x+3y-6=0.
AC所在直线的方程，由截距式,得
=1,即2x-5y+10=0.
课本本节练习1、2、3.
课堂小结
通过本节学习，要求大家：
掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
作业
课本习题3.2A组9、10.
3.2.3直线的一般式方程
三维目标
1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.
3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.
重点难点
教学重点:
直线方程的一般式及各种形式的互化.
教学难点:
在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.
教学过程
导入新课
思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?
这节课我们就来研究这个问题.
思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.
（1）斜率是1，经过点A（1，8）；
（2）在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；（3）经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；（4）y轴上的截距是7，倾斜角是45°.
由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、
=1、
、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：
x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.
新知探究
提出问题
①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?
②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线?
③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?
④特殊形式如何化一般式?
一般式如何化特殊形式?
特殊形式之间如何互化?
⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数
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