第三章非线性方程组的数值解法.docx

1、第三章非线性方程组的数值解法第三章 非线性方程(组)的数值解法一取步长，试用搜索法确立含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于。【详解】由于是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。，因此，中有一个正根。这就确立了含根区间。接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于，计算结果如下表迭代次数0232.5122.50002.250 0222.25002.125 0322.12502.062 542.06252.12502.093 852.09382.12502.109 462.09382.10942.101 672.09382.10162.097 782.09382.09772.095

2、 792.09382.09572.094 7二对方程，用二分法求其在区间内的根，要求误差小于0.01。【详解】 用二分法求解方程在内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表：迭代次数01.521.7511.75002.00001.875 021.87502.00001.937 531.93752.00001.968 841.93751.96881.953 151.95311.96881.960 9三用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程在附近的根，要求误差小于。【详解】，等价于。这样，可以建立不动点迭代格式。当时，总有，因此，迭代格式对于任意初始值总是收敛的。 取，用所建立的不动点迭代格

3、式求解近似根，要求误差小于，计算结果如下表：迭代次数01.511.357 2121.330 8631.325 8841.324 9451.324 7661.324 7371.324 7281.32472四建立收敛的不动点迭代格式，求解方程在内满足精度要求的根。【详解】方程恒等变形，得到。这样，就得到了一个不动点迭代格式。当，且。因此，对任意，不动点迭代格式都收敛。选，用所建立的不动点迭代格式求方程在的近似根，计算结果如下表迭代次数02.512.154 434 69022.103 612 02932.095 927 41042.094 760 54552.094 583 25062.094 55

4、6 30972.094 552 21582.094 551 59392.094 551 498102.094 551 484112.094 551 481五为求方程在附近的一个根，将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代格式：(1) ，迭代格式为；(2) ，迭代格式为；(3) ，迭代格式为。讨论每种迭代格式的收敛性，并用格式(2)求出精度为的根的近似值。【详解】(1) ，因此，该迭代格式在是局部收敛的。(2) ，因此，该迭代格式在是局部收敛的。(3) ，因此，该迭代格式在是不局部收敛的。现在用格式(2)求出精度为的根的近似值，选，计算结果如下表：迭代次数01.511.481 221.472

5、7六给定方程(1)分析该方程有几个根；(2)用迭代格式求出这些根，要求误差小于。【详解】(1),因此，内必有根。，因此，单调递增。这样，方程有且只有一个根。(2) ，因此，对任意，迭代格式都是收敛的。取，用该迭代格式求解，要求误差小于。计算结果如下迭代次数0010.500 020.438 830.452 640.449 650.450 3 七用Newton法求解在区间内满足精度要求的根。【详解】，因此，其Newton迭代格式为选初始值为，用Newton法求解方程在内满足精度要求的根，计算结果如下表：迭代次数02.512.164 179 10422.097 135 35632.094 555 2

6、3242.094 551 48252.094 551 482八用Newton建立求解正数的平方根近似值的迭代算法，并求满足精度要求的近似值。【详解】是方程的正根，因此，计算近似值的Newton迭代格式为。以下用这个迭代格式求满足精度要求的近似值。考虑到，我们可以取初始值。计算结果如下表：迭代次数010110.750 0210.723 8310.723 8九试导出计算的Newton迭代公式，使公式中既无开方运算又无除法运算，并取计算满足精度要求的近似值。【详解】是方程的正根，自然也是方程的根。计算的Newton迭代格式可以是取计算满足精度要求的近似值，计算结果如下表：迭代次数00.510.562

7、 520.576 830.577 3十.用割线法求解在区间内满足精度要求的根。【详解】，由此，建立相应的割线法迭代格式如下以下用该迭代格式求方程在区间内满足精度要求的根，选，计算结果如下表：迭代次数021322.058 823 52932.081 263 66042.094 824 14652.094 549 43162.094 551 48172.094 551 482十一.给定非线性方程(1)证明该方程只有唯一正根，并取步长搜索含有该正根的区间；(2) 选定适当的初值分别用Newton法和割线法求解该正根，要求误差小于。【详解】(1) ，因此，按照一元二次方程的理论，方程有一正根，一负根。令，则，因此，为含正根的区间。(2) Newton迭代格式为割线法迭代格式为取，利用上面所建立的Newton迭代格式，求方程的近似解，要求误差小于，计算结果如下表：迭代次数01.511.831 034 48321.800 270 38831.800 000 02141.800 000 00051.800 000 000取，用上面建立的割线法求方程的近似解，要求误差小于，计算结果如下表：迭代次数011221.744 827 58631.796 972 56441.800 048 53051.799 999 95861.800 000 00071.800 000 000