中考必会模型第十一章圆中的辅助线doc文档格式.docx
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1.如图，48经过。
的圆心，点8在。
上，若AD=OB,且匕8=54°
.试求NA的度数.
如图，连接OC、OD.VZB=54°
OC=OB,:
.ZAOC=2ZB=108°
.y.9：
AD=0B=0D,:
.ZA=ZAOD.VOC=OD,
ZOCA=ZODC=ZA+ZA0D=2ZA.
.Z>
4+ZOCA+ZAOC=ZA+2ZA+108°
=180
•.•NA=24°
.
2.如图，48是。
的直径，弦PQ交AB于M,nPM=MO,求证：
则j4p=Q.
Vpm=om9
.ZP=ZMOP.
Vop=oq9
.ZP=ZQ.
9：
ZQMO=2ZMOP,:
.ZBOQ=3ZMOP.
.ZAOP=-ZBOQ.
3
.・.必p=?
0Q.
模型2构造直角三角形
如图①，已知是。
的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC,则NACB二90°
.
如图②，已知AB是。
的一条弦，过点。
作OELAB,则
A二B
图②
（1）如图①，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90"
的圆周角的构造.
（2）如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.
例1
已知。
O的直径AB和弦CO相交于点E,AE•二2,BE=6,/DEB二60°
.求CD的长.
解答:
如图，过。
作OFJLCD于点F,连接OD.・.・AB=AE+EB,AE=2,EB=6,
・・・AB=8..・.OA=2aB=4.OE=OA-AE=4-2=2
在RtAOEFZDEB=60°
OE=2,AEF=1,OF=.
在RtAODF中,。
尸=DF2+OF'
二42=DF2+（75）2...。
尸=而
VOF±
CD,.・.CD=2DF=2应
例2
如图,AB是。
0的直径,AB=AC,BC交。
0于点D,AC交。
于点E,ZBAC=45°
⑴求ZEBC的度数；
（2）求证:
BD=CD.
练习
2而.求点。
到CD距离，线段OE的长即。
的半径.
如图，连接OB,过。
分别作0M.LAB于点M,ONLCD于点N.
AB=AE+8E=5+13=18,
.AM=-AB=9.
2
又・.・OM=2而，
.・.在RtAOBM中，
BO=+砌2=J81+40=11,
由图知，四边形ONEM是矩形，
ON=EM=AM-AE=9-5=4,
.0E=』0M」+BM'
=7（2Vi0）2+42=2^14.
2.已知，A8和CD是。
0的两条弦，且AB.LCD于点H,连接BC.AD,作OEA.AD于点E.求证：
0E='
BC.
证明：
如图，连接入0并延长交。
0于点F,连接。
F、BD.
・.•0E1AD.
.AE=DE.
0A=0Ff
・..。
£
是AADF的中位线.
0E=-DF.
・.¥
BJ_CD,
AZABD+ZCDB=90°
•.・AF是直径，
ZADF=90°
・
.ZDAF+ZF=90°
・.・ZABD=ZF,
.ZCDB=ZDAF.
.DF=BC.
.0E=-BC.
3.如图，直径48=2,AB.CD交于点E且夹角为45°
.则CE2+DE2=解答：
如图，过点。
作OFJ_CD于点F,连接OD.
设OF=a,DF=b,
则在RtAOFD中，a2+b2=l.
...CF=DF=b.
*：
ZBED=45°
・•・OF=EF=a.
CE2-\-DE2=（b—cr）2+（a+b）2=2（a2+b2）=2.
模型3与圆的切线有关的辅助线
ACB
（1）已知切线：
连接过切点的半径；
如图，巳知直线是。
的切线，点C是切点，连接OC,WJOC1AB.
（2）证明切线：
①当己知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；
如图，己知过圆上一点C的直线AB,连接0C,证明OCLAB，则直线48是。
的切线.
②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；
作OC_L48,证明0C等于（30的半径，则直线48是。
如图，OA.0B是。
0的半径，且0A1.0B,P是0A上任意一点，BP的延长线交。
于Q,过Q点的切线交04的延长线于R.求证：
RP=PQ.
证明
连接0Q
，：
OQ=OB1
.ZOQB=ZOBQ.
•.・RQ为。
的切线，OA1OB,
.ZBPO=9Q°
—ZOBQ,ZBQR=90°
~ZOQB.
.ZBPO=ZQPB=ZBQR.
・・・RP=RQ.
如图，/\ABC内接于。
0,过A点作直线DE,当ZBAE=ZC时，试确定直线。
与。
的位置关系，并证明你的结论.
解答
直线DE与。
相切，理由如下：
连接40并延长，交。
于点F,连接8F.
ZBAE=ZCfZC=ZF,
.ZBAE=ZF
・：
AF为直径,
AZABF=90°
.ZF+ZBAF=90°
.ZBAE+ZBAF
.FAIDE.
乂・.・4。
是。
0的半径，
・.・直线DE与O。
相切.
小猿热搜
1.如图，在△ABC中，以为直径的。
0分别与8C、AC相交于点。
、E,BD=CD,过点。
作。
的切线交AC于点F.求证：
DF1AC.
C
/\F
如图，连接0D.
•「OF是。
0的切线，。
为切点，
ODA.DF.
.ZODF=90°
VBD=CD,OA=OB,
：
.0D是△48C的中位线.
J.OD//AC.
.ZCFD=ZODF=90°
・.・DFA-AC.
2.如图，A8是。
的直径，《是它的切线，CO平分匕4CD.求证：
CD是。
AC
点作OELCD于点E.
•「AC是。
的切线，
.OA±
AC.
•「CO平分ZACD,OELCD,
.OA=OE.
「.CD是。
3.如图，宜线《与。
相交于8、C两点，E是万C的中点，。
上一点，若ZEDA=ZAMD.求证：
4。
如图，连接0E交BC于点F,连接0D.
'
•*E是是的中点，
AOEA.BC,
.ZE+ZEMF=9Q°
•?
ZEDA=ZAMD,ZAMD=ZEMF,
.ZADM+ZE=90Q.
•「OE=OD,
.ZE=ZODE.
.ZODE+ZADM=9Q°
即Z0DA=9Q°
0D1AD.
.\AD是。
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