时间序列平稳性Word下载.docx
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（
这里，是一个白噪声。
容易知道该序列有相同的均值。
为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设的初值为，则易知
由于为一常数，是一个白噪声，因此，即的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。
然而，对取一阶差分（firstdifference）
由于是一个白噪声，则序列{}是平稳的。
后面我们将会看到，如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
事实上，随机游走（
不难验证，时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升（>
1）或持续下降（<
-1），因此是非平稳的；
=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明，只有当-1<
<
1时，该随机过程才是平稳的，。
（
该随机过程平稳性条件也将在第二节中介绍。
二、平稳性检验的图示判断
给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
一个平稳的时间序列（图；
而非平稳序列（图
tt
（a）（b）
图9.1平稳时间序列与非平稳时间序列图
然而，这种直观的图示也常出现误导，因此需要进行进一步的判别。
通常的做法是检验样本自相关函数及其图形。
首先定义随机时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction,ACF）如下：
分子是序列滞后k期的协方差，分母是方差，因此自相关函数是关于滞后期k的递减函数。
由于实际上我们对一个随机过程只有一个实现（样本），因此，只能计算样本自相关函数（Sampleautocorrelationfunction）。
一个时间序列的样本自相关函数定义为：
，k=1,2,3,…（
易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。
但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。
图
11
0k0k
图9.1.2平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
确定样本自相关函数某一数值是否足够接近于0是非常有用的，因为它可检验对应的自相关函数的真值是否为0的假设。
巴特雷特（Bartlett）曾证明，如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的k>
0，样本自相关系数近似地服从以0为均值，1/n为方差的正态分布，其中n为样本容量。
也可检验对所有k>
0，自相关系数都为0的联合假设，这可通过如下统计量进行：
该统计量近似地服从自由度为m的分布（m为滞后期长度）。
因此，如果计算的Q值大于显著性水平为的临界值，则有1-的把握拒绝所有（k>
0）同时为0的假设。
例9.1.3表，容易验证该样本序列的均值为0，方差为0.0789。
从图形看（图，它在其样本均值0附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近波动且逐渐收敛于0。
由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。
根据Bartlett曾表明的，该序列的自相关系数应遵从以0为均值，以1/19为方差的正态分布，因此任一（k>
0）的95%的置信区间都将是[-0.4497,0.4497]。
可以看出k>
0时，的值确实落在了该区间内，因此可以接受（k>
0）为0的假设。
同样地，从统计量的计算值看，滞后17期的计算值为26.38，未超过5%显著性水平的临界值27.58，因此可以接受所有的自相关系数（k>
0）都为0的假设。
因此，该随机过程是一个平稳过程。
序列Random2是以（，其中第0项取值为0，随机项是由Random1表示的白噪声。
图形表示出该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。
样本自相关系数显示，=0.48，落在了区间[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的显著性水平上拒绝的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
表9.1.1一个纯随机序列与随机游走序列的检验
序号
Random1
自相关系数
（k=0,1,…17）
Random2
1
-0.031
1.000
2
0.188
-0.051
0.059
0.157
0.480
5.116
3
0.108
-0.393
3.679
0.264
0.018
5.123
4
-0.455
-0.147
4.216
-0.191
-0.069
5.241
5
-0.426
0.280
6.300
-0.616
0.028
5.261
6
0.387
0.187
7.297
-0.229
-0.016
5.269
7
-0.156
-0.363
11.332
-0.385
-0.219
6.745
8
0.204
-0.148
12.058
-0.181
-0.063
6.876
9
-0.340
0.315
15.646
-0.521
0.126
7.454
10
0.194
17.153
-0.364
0.024
7.477
11
0.228
-0.139
18.010
-0.136
-0.249
10.229
12
-0.315
-0.297
22.414
-0.451
-0.404
18.389
13
-0.377
0.034
22.481
-0.828
-0.284
22.994
14
-0.056
0.165
24.288
-0.884
-0.088
23.514
15
0.478
-0.105
25.162
-0.406
-0.066
23.866
16
0.244
-0.094
26.036
-0.162
0.037
24.004
17
-0.215
0.039
26.240
0.105
25.483
18
0.141
0.027
26.381
-0.236
0.093
27.198
19
0.236
0.000
图9.1.3纯随机序列Raondom1样本图及其样本自相关系数图
图9.1.4随机游走序列Raondom2样本图及其样本自相关系数图
例9.1.4检验中国支出法GDP时间序列的平稳性。
表，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步判断是非平稳的。
而且从它们的样本自相关系数的变化看，也是缓慢下降的，再次表明它们的非平稳性。
从滞后21期的统计量看，计算值为164.23，超过了显著性水平为5%时的临界值32.67。
因此，进一步否定了该时间序列的自相关系数在滞后一期之后的值全部为0的假设。
这样，我们得出的结论是1978~2000年间中国GDP时间序列是非平稳序列，
表9.1.21978~2000年中国支出法GDP（单位：
亿元）
年份
GDP
GDP
1978
3605.6
1986
10132.8
1994
46690.7
1979
4073.9
1987
11784
1995
58510.5
1980
4551.3
1988
14704
1996
68330.4
1981
4901.4
1989
16466
1997
74894.2
1982
5489.2
1990
18319.5
1998
79003.3
1983
6076.3
1991
21280.4
1999
82673.1
1984
7164.4
1992
25863.6
2000
89112.5
1985
8792.1
1993
34500.6
图9.1.51978~2000年中国GDP时间序列及其样本自相关图
例9.1.5检验§
2.5中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。
在本章开始时已指出，对时间序列运用传统的回归技术进行回归，是建立在时间序列平稳性这一基本假定基础之上的。
因此，在建立关于人均居民消费与人均国内生产总值的回归方程之前，应对该两序列的平稳性进行检验。
从图形（图，该两序列的统计量计算值均为57.18，超过了显著性水平为5%时的临界值23.68，否定了它们的自相关系数在滞后一期之后的值全部为0的假设，再次表明它们的非平稳性。
就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的。
不过，我们将在第三节中看到，如果两个非平稳时间序列是协整的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是协整的。
图9.1.61978~2000中国居民人均消费与人均GDP时间序列及其样本自相关图
四、平稳性的单位根检验
对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。
单位根检验（unitroottest）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。
1、DF检验
我们已知道，随机游走序列
是非平稳的，其中是白噪声。
而该序列可看成是随机模型
中参数=1时的情形。
也就是说，我们对（，如果确实发现=1，则我们就说随机变量有一个单位根。
显然，一个有单位根的时间序列就是随机游走序列，而随机游走序列
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