立体几何几个经典题型理科Word文件下载.docx
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ABCARG中，AB2AA，D
1
AD//BC//FE,ABAD,M为EC的中点，AF=AB=BC=FE二-AD
2
（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小;
（II）求平面AMD与平面CDE所成角的大小;
（III）求二面角A-CD-E的余弦值
PA丄底
4.如图，在正二棱柱（底面是正二角形，侧棱垂直底面）是AQ的中点，点E在AG上，且DEAE。
（I）证明平面ADE平面ACGA
（II）求直线AD和平面AB。
所成角的正弦值。
5在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱
面ABCD，
AB=,3，BC=1，PA=2，E为PD的中点.
（1）在侧面
PAB内找一点N，使NE丄面PAC，并求出N点到AB和水卩的距离;
E\
⑵求
（1）中的点N到平面PAC的距离.
C
6如图，在棱长为1的正方体ABCDABQiD!
中，P
侧棱CC1上的一点，CPm。
（I）、试确定m,使直线AP与平面BDD1B1所成角的正
值为3.2;
A
D1
B是
/b/
P
dL
切
厂
的
（u）、在线段ag上是否存在一个定点Q，使得对任意
m,DiQ在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论7、如图所示，等腰△ABC的底边AB6违，高CD3，点E是线段BD上异于点B,D的动点，点F在BC边上，且EF丄AB，现沿丘卩将厶BEF折起到△PEF的位置，使PE丄AE，
记BEx，V（x）表示四棱锥PACFE的体积.
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与
PF所成角
E
F
求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？
的余弦值.
8、如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱
_S
长都是底面边长的■2倍，P为侧棱SD上的点
（I）求证：
ACSD;
（U）若SD丄平面PAC，求二面角PACD的大小;
（川）在（U）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，
使得BE//平面PAC。
若存在，求SE:
EC的值;
若不存在，试说明理由
答案:
立体几何与空间向量解答题（理科）
1、【解】证明：
设ACBDH，连结EH，在ADC中，因为AD=CD，且DB平
分ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH//PA,又
由ADCD,ADCD1,DB22可得DHCH
.2
宁BH
3、2
HE平面BDE,PA平面BDE，所以PA//平面BDE.
BC与平面PBD所成的角的正切值为-
3
CHi在RtBHC中，tanCBH——-,所以直线
BH3
2、证明：
（I）如图，连结OP,以O为坐标原点，
以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，
空间直角坐标系Oxyz，则
O0,0,0,A（0,8,0）,B（8,0,0）,C（0,8,0）,P（0,0,6）,E（0,4,3）,F4,0,3，由题意得，G0,4,0,uuuuuuruuu
因OB（8,0,0）,OE（0,4,3），因此平面BOE的法向量为n（0,3,4），FG（4,4,3得ruuu
nFG0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG//平面BOE
ujun
（II）设点M的坐标为x）,y0,O，则FM（冷4,y0,3），因为FM平面BOE，所以有
uuuur9q
FM〃n，因此有xo4,yo9，即点M的坐标为4,9,0，在平面直角坐标系xoy中,
44
xO
AOB的内部区域满足不等式组yO，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以
xy8
在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为
3、分析：
本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用
空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。
【解】方法一：
（I）解：
由题设知，BF//CE，所以/CED（或其补角）为异面直线BF
与DE所成的角。
设P为AD的中点，连结EP,PC。
因为FE//AP，所以FA//EP，同理
ABMPC。
又FA丄平面ABCD，所以EP丄平面ABCD。
而PC,AD都在平面ABCD内，故
EP丄PC,EP丄AD。
由AB丄AD，可得PC丄AD设FA=a，贝UEP=PC=PD=a,CD=DE=EC=2a,故/CED=60。
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°
。
（II）因为DCDE且M为CE的中点，所以DMCE.连结MP，则MPCE.
故平面AMD与平面CDE所成角的大小为
（III）解：
设Q为CD的中点，连结PQ,EQ因为CEDE，所以EQCD.因为
J642
由（I）可得，EPPQ,EQa,PQa.
22
方法二：
如图所示，建立空间直角坐标系,
点A为坐标原点。
设AB1,依题意得B1,0,0,C1,0,D0,2,0,E0,1,1,
11
F0,0,,M—,1,—.
（I）解:
BF1,0,1,DE0,1,1,
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.
又由题设，平面ACD的一个法向量为v（0,0,1）.
【点评】纯几何方法求角：
求角的思路一般是将空间角的计算问题转化为平面角的计算问题，求异面直线所成的角时，需要选点平移，一般是设法在其中一条直线上选出一个
恰当的点来平移另一条直线，然后计算其中的锐角或直角；
线面角的计算关键是找出直线在平面上的射影，通常需要由直线上的某一点向平面作垂线，求出的应当是一个锐角或直角；
面面角的计算通常找到平面角或面积射影定理来完成，找平面角的方法有定义法、三垂线定理法（利用三垂线定理求解。
在新教材中弱化了三垂线定理。
这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
）、垂面法，计算出来的角是可以是锐角、直角或钝角.向量法求角给解题带来了极大的方便，其规律见后面的【温馨提示】。
4、【解】
（I）如图所示,由正三棱柱ABCABG的性质知AA平面AB1G，又DE平
面A1B1Ci，所以DEAA
而DEAEoAA1AE=A所以DE平面ACC1A1,又DE平面ADE，故平面ADE
平面ACC1A1o
解法2如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立直角坐标系，不妨设
AAi=.2，则AB=2，相关各点的坐标分别是
A（0,-1,0）,B（的,0,0）,Ci（0,1,血），D（近，
2，
2）o
易知AB=（3,1,0）,ACi=（0,2,2）,
设平面ABCi的法向量为n（x,y,z），则有
故可取n=（1,--3,..6）o
n^D二2^3二妬
nAD<
10后5
由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为-10
5
【点评】本题主要考查面与面之间的关系和线面关系，同时考查空间想象能力和推理运算
能力。
本题着眼于让学生掌握通性通法几何法在书写上体现：
“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。
因此求直线和平面所成的角，几何
⑵设N到平面PAC的距离为d,QNE是平面
|NANE|
PAC的法向量，贝Ud=
INE|
法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；
向量法则利用斜线和射影的
的角，n是平面的法向量，有〒或=--）
B（,3,0,0）C（3,1,0）D（0,1,0）P（0,0,2）E（0,2,1）,依题设N（x,0,z）,则NE=（—x,2,
1—z）,由于NE丄平面PAC，
从而N到AB、AP的距离分别为1,学.
6
I（』O,1）（—,-,0）l
|（
662f，2,0）l
62
［例9〗如图，在棱长为1的正方体ABCDAiBiGDi中，P是侧棱CG上的一点,
对任意
角的正
CPm。
（I）、试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成
切值为3；
2;
（U）、在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得
的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论
【分析】本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。
O,AP与平面BDD1B1相交于点,
9、【解】法1:
（I）连AC，设AC与BD相交于点
连结0G,因为PC//平面BDD1B1，平面BDD1B1G平面
二OG,
故0G//PC，所以，0G=^PC=m.
又AO丄BD,AO丄BB1,所以A0丄平面BDD1B1，
故/AGO是AP与平面BDD1B1所成的角.
旦
在Rt△AOG中，tanAGO=°
A丄3、2，即m=-.GOm3
所以，当m=-时，直线AP与平面BDDiBi所成的角的正切值为3辽.
（U）可以推测，点Q应当是AQ的中点01，因为
DiOi丄AiCi,且DiOi丄AiA，所以DQi丄平面ACCiAi,
又AP平面ACCiAi,故DiOi丄AP.
那么根据三垂线定理知，DiOi在平面APDi的射影与AP垂直。
［例iOF如图所示，等腰△ABC的底边AB6；
6，高CD3，点E是线段BD上异于点B,D
iO、【解】
（i）由折起的过程可知，PE丄平面ABC，Sabc
96,Sbef5_Sbdc
62xi2
的位置，使
的动点，点F在BC边上，且EF丄AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF
V（x）<
x（9护2）（0x36）；
（2）V'
（x）6（9-x2），所以x（0,6）时，v'
（x）0，V（x）单调递增；
6x3.6时v'
（x）0，
34
V（x）单调递减；
因此x=6时，V（x）取得最大值126;
⑶过F作MF//AC交AD与M,则器£
蛊^，MB2BE12,PM=62，
MFBFPF
-6BC654942，
363'
在厶PFM中，
cosPFM84722，二异面直线AC与PF所成角的余弦值为2;
4277
【点评】本题采用了函数思想在立体几何中的应
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