立体几何几个经典题型理科Word文件下载.docx

1、ABC ARG 中，AB 2AA，D1AD/BC/FE , AB AD , M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE二-AD2（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小;（II）求平面AMD与平面CDE所成角的大小;（III ）求二面角A-CD-E的余弦值PA丄底4.如图，在正二棱柱（底面是正二角形，侧棱垂直底面） 是AQ的中点，点E在AG上，且DE AE。（I）证明平面 ADE 平面ACGA（II）求直线AD和平面AB。所成角的正弦值。5在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱面 ABCD，AB = ,3，BC= 1，PA= 2，E 为 PD 的中点.（1）在侧面PAB内找一点N，

2、使NE丄面PAC，并求出N点到AB和水卩的距离;E 求（1）中的点N到平面PAC的距离.C6 如图，在棱长为1的正方体ABCD ABQiD!中，P侧棱CC1上的一点，CP m。（I）、试确定m ,使直线AP与平面BDD1B1所成角的正值为3.2 ;A D1B是/ b/Pd L切厂的（u）、在线段ag上是否存在一个定点Q，使得对任意m , DiQ在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论 7、如图所示，等腰 ABC的底边AB 6违，高CD 3，点E是线段BD上异于点B, D的 动点，点F在BC边上，且EF丄AB，现沿丘卩将厶BEF折起到 PEF的位置，使PE丄AE，记BE x，V（x）表示

3、四棱锥P ACFE的体积.（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线 AC与PF所成角EF求V（x）的表达式；（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？的余弦值.8、 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱_ S长都是底面边长的 2倍，P为侧棱SD上的点（I）求证：AC SD ;（U）若SD丄平面PAC，求二面角P AC D的大小;（川）在（U）的条件下，侧棱 SC上是否存在一点E，使得BE /平面PAC。若存在，求SE: EC的值;若不存在，试说明理由答案:立体几何与空间向量解答题（理科）1、【解】 证明：设AC BD H，连结EH，在 ADC中，因为AD=CD，且DB平分 ADC，所

4、以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH/PA,又由 AD CD ,AD CD 1, DB 2 2可得 DH CH.2宁BH3、2HE 平面BDE , PA 平面BDE，所以PA/平面BDE .BC与平面PBD所成的角的正切值为-3CH i 在Rt BHC中，tan CBH -,所以直线BH 32、证明：（I）如图，连结OP,以O为坐标原点，以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，空间直角坐标系O xyz，则O 0,0,0 ,A（0, 8,0）,B（8,0,0）,C（0,8,0）, P（0,0,6）, E（0, 4,3）, F 4,0,3，由题意得，G 0,4,0 , uuu

5、uuu r uuu因 OB （8,0,0）, OE （0, 4,3），因此平面 BOE 的法向量为 n （0,3,4），FG （ 4,4, 3得 r uuun FG 0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG/平面BOEujun（II）设点M的坐标为 x）,y0,O，则FM （冷4,y0, 3），因为FM 平面BOE，所以有uuuu r 9 qFM n，因此有xo 4, yo 9，即点M的坐标为4, 9,0，在平面直角坐标系xoy 中,4 4x OAOB的内部区域满足不等式组 y O ，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以x y 8在 ABO内存在一点M，使FM 平面BOE，由点M的坐标得

6、点M到OA，OB的距离为3、分析：本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。【解】方法一：（I）解：由题设知，BF/CE，所以/ CED （或其补角）为异面直线 BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP, PC。因为FE/AP，所以FA/EP，同理AB MPC。又FA丄平面ABCD，所以EP丄平面 ABCD。而PC, AD都在平面 ABCD内，故EP丄 PC,EP丄AD。由 AB 丄 AD，可得 PC丄 AD 设 FA=a，贝U EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 2a , 故/

7、CED= 60。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60。（II ）因为DC DE且M为CE的中点，所以 DM CE.连结MP，则MP CE.故平面AMD与平面CDE所成角的大小为（III ）解：设Q为CD的中点，连结 PQ, EQ因为CE DE，所以EQ CD.因为J6 42由（I）可得，EP PQ, EQ a, PQ a.2 2方法二：如图所示，建立空间直角坐标系,点A为坐标 原点。设AB 1,依 题意得B 1,0,0 , C 1,0 , D 0,2,0 , E 0,1,1 ,1 1F 0,0, , M ,1,.（I）解:BF 1,0,1 , DE 0, 1,1 ,所以异面直线BF与DE

8、所成的角的大小为60 .又由题设，平面ACD的一个法向量为v （0 ,0 ,1）.【点评】纯几何方法求角：求角的思路一般是将空间角的计算问题转化为平面角的计 算问题，求异面直线所成的角时，需要选点平移，一般是设法在其中一条直线 上选出一个恰当的点来平移另一条直线，然后计算其中的锐角或直角；线面角的计算关键是找出直线 在平面上的射影，通常需要由直线上的某一点向平面作垂线，求出的应当是一个锐角或直 角；面面角的计算通常找到平面角或面积射影定理来完成，找平面角的方法有定义法、三 垂线定理法（利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角 也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

9、）、垂面法，计算出来的角是可以是锐角、直 角或钝角.向量法求角给解题带来了极大的方便，其规律见后面的【温馨提示】 。4、【解】（I）如图所示,由正三棱柱 ABC ABG的性质知AA 平面AB1G，又DE 平面 A1B1Ci，所以 DE AA而 DE AE o AA1 AE=A 所以 DE 平面 AC C1A1 , 又 DE 平面 ADE，故平面 ADE平面 AC C1A1 o解法2如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立 直角坐标系，不妨设A Ai= . 2，则AB=2，相关各点的坐标分别是A（0,-1,0）, B （的,0,0）, Ci（ 0, 1,血），D （近，2，2）o易知 AB=（

10、 3 , 1, 0）, ACi =（0, 2, 2）,设平面ABCi的法向量为n （x, y,z），则有故可取 n=（1, - -3 , .6 ）onD 二 23 二妬n AD 10 后 5由此即知，直线AD和平面AB C1所成角的正弦值为-105【点评】本题主要考查面与面之间的关系和线面关系，同时考查空间想象能力和推理运算能力。本题着眼于让学生掌握通性通法几何法在书写上体现： “作出来、证出来、指出来、 算出来、答出来”五步斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分 别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何设N到平面PAC的距离为d ,

11、Q NE是平面|NA NE |PAC的法向量，贝U d =I NE |法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的的角，n是平面的法向量，有或=-）B（,3,0, 0） C（3, 1, 0） D（0, 1, 0） P（0, 0, 2） E（0, 2 , 1）,依题设 N（x, 0, z）,则 NE = （ x, 2,1 z）,由于NE丄平面 PAC，从而N到AB、AP的距离分别为1,学.6I（O,1） （ ,-,0）l|（6 6 2 f，2,0）l6 2例9如图，在棱长为 1的正方体ABCD AiBiGDi中，P是侧棱CG上的一点,对任意角的正CP m。（I）

12、、试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成切值为3；2 ;（U）、在线段A1C1 上是否存在一个定点 Q，使得的m ， D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论【分析】本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力 和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。O,AP与平面BDD1B1相交于点,9、【解】法1: （I）连AC，设AC与BD相交于点连结0G,因为PC/平面BDD1B1，平面BDD1B1 G平面二 OG,故 0G / PC，所以，0G = PC= m .又AO丄BD,AO丄BB1,所以A0丄平面BDD1B1，故/ AGO是AP与平面BDD

13、1B1所成的角.旦在 Rt AOG 中，tan AGO = A 丄 3、2，即 m=-. GO m 3所以，当m=-时，直线AP与平面BDDiBi所成的角的正切值为3辽.（U）可以推测，点Q应当是AQ的中点01，因为DiOi 丄AiCi,且 DiOi丄AiA，所以 DQi丄平面 ACCiAi,又 AP 平面 ACCiAi, 故 DiOi丄 AP.那么根据三垂线定理知，DiOi在平面APDi的射影与AP垂直。例iOF如图所示，等腰 ABC的底边AB 6；6，高CD 3，点E是线段BD上异于点B, DiO、【解】（i）由折起的过程可知，PE丄平面ABC，Sabc9 6, Sbef 5_ Sbdc6

14、 2 x i2的位置，使的动点，点 F在BC边上，且EF丄AB，现沿EF将 BEF折起到 PEFV（x） x（9 护2）（ 0x36 ）；（2） V（x） 6 （9 -x2），所以 x （0,6）时，v（x） 0 ，V（x）单调递增；6 x 3.6 时 v（x） 0 ，3 4V（x）单调递减；因此x=6时，V（x）取得最大值12 6 ;过 F 作 MF/AC 交 AD 与 M,则器 蛊 ，MB 2BE 12 , PM=62，MF BF PF-6 BC 6 54 9 42，3 6 3 在厶PFM中，cos PFM 84 72 2，二异面直线AC与PF所成角的余弦值为2 ;42 7 7【点评】本题采用了函数思想在立体几何中的应