平面向量经典习题提高篇.docx

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平面向量经典习题提高篇

平面向量：

1.已知向量a＝（1,2），b＝（2,0），若向量λa＋b与向量c＝（1，－2）共线，则实数λ等于（　　）

A．－2　　　　　　　　　B．－

C．－1D．－

[答案]　C

[解析]　λa＋b＝（λ，2λ）＋（2,0）＝（2＋λ，2λ），

∵λa＋b与c共线，

∴－2（2＋λ）－2λ＝0，∴λ＝－1.

2.（文）已知向量a＝（，1），b＝（0,1），c＝（k，），若a＋2b与c垂直，则k＝（　　）

A．－1B．－

C．－3D．1

[答案]　C

[解析]　a＋2b＝（，1）＋（0,2）＝（，3），

∵a＋2b与c垂直，∴（a＋2b）·c＝k＋3＝0，

∴k＝－3.

（理）已知a＝（1,2），b＝（3，－1），且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为（　　）

A．－B．－

C.D.

[答案]　C

[解析]　a＋b＝（4,1），a－λb＝（1－3λ，2＋λ），

∵a＋b与a－λb垂直，

∴（a＋b）·（a－λb）＝4（1－3λ）＋1×（2＋λ）＝6－11λ＝0，∴λ＝.

3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为（　　）

A．150°B．120°

C．60°D．30°

[答案]　B

[解析]　如图，在▱ABCD中，

∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，

∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.

（理）向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　A

[解析]　∵|a－b|＝，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝，

∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，

设|b|＝x，则1＋x2－x＝，∵x>0，∴x＝.

4.若·＋2＝0，则△ABC必定是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

[答案]　B

[解析]　·＋2＝·（＋）＝·＝0，∴⊥，

∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．

5.（文）若向量a＝（1,1），b＝（1，－1），c＝（－2,4），则用a，b表示c为（　　）

A．－a＋3bB．a－3b

C．3a－bD．－3a＋b

[答案]　B

[解析]　设c＝λa＋μb，则（－2,4）＝（λ＋μ，λ－μ），

∴，∴，∴c＝a－3b，故选B.

（理）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于（　　）

A.a＋bB.a＋b

C.a＋bD.a＋b

[答案]　B

[解析]　∵E为OD的中点，∴＝3，

∵DF∥AB，∴＝，

∴|DF|＝|AB|，∴|CF|＝|AB|＝|CD|，

∴＝＋＝＋＝a＋（－）

＝a＋（b－a）＝a＋b.

6.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为（　　）

A．19B．14

C．－18D．－19

[答案]　D

[解析]　据已知得cosB＝＝，故·＝||×||×（－cosB）＝7×5×＝－19.

7.若向量a＝（x－1,2），b＝（4，y）相互垂直，则9x＋3y的最小值为（　　）

A．12B．2

C．3D．6

[答案]　D

[解析]　a·b＝4（x－1）＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝6，等号在x＝，y＝1时成立．

8.若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2＋x＋＝0，实数x为（　　）

A．－1B．0

C.D.

[答案]　A

[解析]　x2＋x＋－＝0，∴x2＋（x－1）＋＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.

9.（文）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·（＋）（　　）

A．最大值为8B．最小值为2

C．是定值6D．与P的位置有关

[答案]　C

[解析]　以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B（－1,0），C（1,0），A（0，），＋＝（－1，－）＋（1，－）＝（0，－2），

设P（x,0），－1≤x≤1，则＝（x，－），

∴·（＋）＝（x，－）·（0，－2）＝6，故选C.

（理）在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，·＝－1，则||的最小值是（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　D

[解析]　∵∠A＝120°，·＝－1，

∴||·||·cos120°＝－1，

∴||·||＝2，

∴||2＋||2≥2||·||＝4，

∵D为BC边的中点，∴＝（＋），∴||2＝（||2＋||2＋2·）＝（||2＋||2－2）≥（4－2）＝，

∴||≥.

10.如图所示，点P是函数y＝2sin（ωx＋φ）（x∈R，ω>0）的图象的最高点，M，N是该图象与x轴的交点，若·＝0，则ω的值为（　　）

A.B.

C．4D．8

[答案]　B

[解析]　∵·＝0，∴PM⊥PN，又P为函数图象的最高点，M、N是该图象与x轴的交点，∴PM＝PN，yP＝2，∴MN＝4，∴T＝＝8，∴ω＝.

11.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　A

[解析]　如图，取CD的三等分点M、N，BC的中点Q，则EF∥DG∥BM∥NQ，易知＝，∴λ＝.

12.已知向量a＝（2,3），b＝（－1,2），若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为（　　）

A.　　　　　　　　B．2

C．－2D．－

[答案]　C

[解析]　ma＋4b＝（2m－4,3m＋8），a－2b＝（4，－1），

由条件知（2m－4）·（－1）－（3m＋8）×4＝0，

∴m＝－2，故选C.

13.在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·等于（　　）

A．2　　　　B．3　　　　

C．4　　　　D．6

[答案]　B

[解析]　·

＝（＋）·

＝（＋）·

＝·＋·

＝||·||·cos45°

＝×3×3×＝3.

14.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则·＝________.

[答案]　

[解析]　由条件知，||＝||＝||＝3，〈，〉＝60°，〈，〉＝60°，＝，

∴·＝·（＋）＝·＋·＝3×3×cos60°＋×3×3×cos60°＝.

15.已知向量a＝（3,4），b＝（－2,1），则a在b方向上的投影等于________．

[答案]　－

[解析]　a在b方向上的投影为＝＝－.

16.已知向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝4，若（2a＋λb）⊥a，则实数λ＝________.

[答案]　1

[解析]　∵〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1×4×cos＝－2，∵（2a＋λb）⊥a，∴a·（2a＋λb）＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.

17.已知：

||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n（m，n∈R＋），则＝________.

[答案]　3

[解析]　设m＝，n＝，则＝＋，

∵∠AOC＝30°，∴||·cos30°＝||＝m||＝m，

||·sin30°＝||＝n||＝n，

两式相除得：

＝＝＝，∴＝3.

18.（文）设i、j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．

[答案]　5

[解析]　由条件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴·＝（－2i＋j）·（4i＋3j）＝－8＋3＝－5，又·＝||·||·cos〈，〉＝5cos〈，〉，

∴cos〈，〉＝－，∴sin〈，〉＝，

∴S△OAB＝||·||·sin〈，〉＝××5×＝5.

（理）三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是________（只写序号）

①sinA＋cosA＝　②·<0　③b＝3，c＝3，B＝30°　④tanA＋tanB＋tanC>0.

[答案]　④

[解析]　若A为锐角，则sinA＋cosA>1，∵sinA＋cosA＝，∴A为钝角，∵·<0，∴·>0，∴∠B为锐角，由∠B为锐角得不出△ABC为锐角三角形；由正弦定理＝得，＝，∴sinC＝，∴C＝60°或120°，∵c·sinB＝，3<<3，∴△ABC有两解，故①②③都不能得出△ABC为锐角三角形．

④由tanA＋tanB＋tanC＝tan（A＋B）（1－tanAtanB）＋tanC＝－tanC（1－tanAtanB）＋tanC＝tanAtanBtanC>0，及A、B、C∈（0，π），A＋B＋C＝π知A、B、C均为锐角，

∴△ABC为锐角三角形．

19.已知平面向量a＝（1，x），b＝（2x＋3，－x）．

（1）若a⊥b，求x的值．

（2）若a∥b，求|a－b|.

[解析]　

（1）若a⊥b，

则a·b＝（1，x）·（2x＋3，－x）＝1×（2x＋3）＋x（－x）＝0，

整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.

（2）若a∥b，则有1×（－x）－x（2x＋3）＝0，

则x（2x＋4）＝0，解得x＝0或x＝－2，

当x＝0时，a＝（1,0），b＝（3,0），

∴|a－b|＝|（1,0）－（3,0）|＝|（－2,0）|

＝＝2，

当x＝－2时，a＝（1，－2），b＝（－1,2），

∴|a－b|＝|（1，－2）－（－1,2）|＝|（2，－4）|

＝＝2.

20.已知向量a＝（sinx，－1），b＝（cosx，－），函数f（x）＝（a＋b）·a－2.

（1）求函数f（x）的最小正周期T；

（2）将函数f（x）的图象向左平移上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其对称中心坐标．

[解析]　

（1）f（x）＝（a＋b）·a－2＝a2＋a·b－2

＝sin2x＋1＋sinxcosx＋－2

＝＋sin2x－＝sin2x－cos2x

＝sin（2x－），

∴周期T＝＝π.

（2）向左平移个单位得，y＝sin[2（x＋）－]

＝sin（2x＋），横坐标伸长为原来的3倍得，

g（x）＝sin（x＋），

令x＋＝kπ得对称中心为（－，0），k∈Z.

21.（文）三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝（c－a，b－a），n＝（a＋b，c），若m∥n.

（1）求角B的大小；

（2）若sinA＋sinC的取值范围．

[解析]　

（1）由m∥n知＝，

即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知

cosB＝，得B＝.

（2）sinA＋sinC＝sinA＋sin（A＋B）＝sinA＋sin（A＋）

＝sinA＋sinA＋cosA＝sinA＋cosA

＝sin（A＋），

∵B＝，∴A＋C＝，∴A∈（0，），

∴A＋∈（，），∴sin（A＋）∈（，1]，

∴sinA＋sinC的取值范围为（，]．

（理）在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m＝（2b－c，cosC），n＝（a，cosA），且m∥n.

（1）求角A的大小；

（2）求函数y＝2sin2B＋cos（－2B）的值域．

[解析]　

（1）由m∥n得（2b－c）cosA－acosC＝0，

由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAc