高考天津文科数学试题及答案word解析版Word文件下载.docx
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【解析】解法一：
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由得，
平移直线，由图像可知当直线过点时，的
截距最大，此时最大．由，解得，即，代入目
标函数得，即目标函数的的最大值为9，故选C．
解法二：
，当时取得最大值9，故选C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
（3）
【2015年天津，文3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）
（A）2（B）3（C）4（D）5
【解析】由程序框图可知：
，故选C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的，的值是解题的关键，
属于基础题．
（4）
【2015年天津，文4】设，则“”是“”的（）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，则“”是“”的充分不必要条件，
故选A．
【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．
（5）
【2015年天津，文5】已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】由双曲线的渐近线，与圆相切得：
，由，由此可解得，所以双曲线方程为，故选D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．
（6）
【2015年天津，文6】如图，在圆中，是弦的三等分点，弦分别
经过点．若，则线段的长为（）
（A） （B）（C）（D）
【解析】由相交弦定理可知，，又因为是弦的三等分点，所以，，所以，故选A．
【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
（7）
【2015年天津，文7】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则的大小关系为（）
（A）（B）（C）（D）
【解析】因为函数为偶函数，所以，即，所以
，
，所以，故选B．
【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．
（8）
【2015年天津，文8】已知函数函数，若函数的零点个数是（）
（A）2（B）3（C）4（D）5
当时，，此时方程的小于0的零点为，
当时，，无零点，当时，
，方程大于2零点有一个，故
选A．
解法二：
，，由，得：
，设，若，则，，则；
若，则，，则；
若，，，则．
即，故函数的零点个数为2个，故选A．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
第II卷（共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）
【2015年天津，文9】是虚数单位,计算的结果为．
【答案】
【解析】．
【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．
（10）
【2015年天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的体积为．
【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是
底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
（11）
【2015年天津，文11】已知函数，其中为实数,为的导函数,若，则的值为．
【解析】因为,所以．
【点评】本题考查了求导公式的运用；
熟练掌握求导公式是关键．
（12）
【2015年天津，文12】已知则当的值为时取得最大值．
【答案】4
【解析】，当时取等号，结合，
，可得
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．
（13）
【2015年天津，文13】在等腰梯形中,已知，动点和分别在线段和上，且，则的最小值为．
因为，，，
，，
当且仅当即时的最小值为．
在等腰梯形ABCD中,由，，，，得,,
所以
．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；
关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．
（14）
【2015年天津，文14】已知函数若函数在区间内单调递
增，且函数的图像关于直线对称,则的值为．
【解析】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得，且
，所以．
【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定的值是解题的关键，属于中档题．
三、解答题：
本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）
【2015年天津，文15】
（本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双
打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率．
解：
（Ⅰ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；
（Ⅱ）（i）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为,,,,,,,,,,,,,,，共15种．
（ii）编号为的两名运动员至少有一人被抽到的结果为,,,,,,,,,共9种,所以事件A发生的概率
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．
（16）
【2015年天津，文16】
（本小题满分13分）中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值．
（Ⅰ）中，由，得，由，得，又由，解得
由，可得．
（Ⅱ）．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．
（17）
【2015年天津，文17】
（本小题满分13分）如图,已知平面，，，，，点，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求证：
平面平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．
（Ⅰ）证明：
如图，连接，在△中，因为和分别是，的中点，所以，
又因为平面，所以平面．
（Ⅱ）因为，为中点，所以，因为平面，，所以
平面，从而，又，所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
（Ⅲ）取中点和中点，连接，，因为和分别为和中点，所以
，，故，，所以，．又因为
平面，所以，因为，，所以，，
又由，有，在中，可得．在中，
，因此，所以直线与平面所成角为．
【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．
（18）
【2015年天津，文18】
（本小题满分13分）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
（Ⅰ）设的公比为，的公差为d,由题意，由已知，有，消去得，
解得，所以的通项公式为，的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设的前项和为，则
，
两式相减得，所以．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．
（19）
【2015年天津，文19】
（本小题满分14分）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，离心率为．
（Ⅰ）求直线的斜率；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于点（异于点），故点且垂直于的直线与椭圆交于点（异于点）直线与轴交于点，．
（i）求的值；
（ii）若，求椭圆的方程．
（Ⅰ），由已知及，可得，
又因为，故直线的斜率．
（Ⅱ）设点，
（i）由（Ⅰ）可得椭圆方程为，直线的方程为，两方程联立消去得：
，解得．因为，所以直线，方程为，与椭圆方程联立消去得，解得．又因为，及得．
（ii）由（i）得，所以，即，又因为，所以=．又因为，
所以，因此，，
所以椭圆方程为．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．
（20）
【2015年天津，文20】
（本题满分14分）已知函数
（Ⅰ）求的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：
对于任意的
正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程（为实数）有两个正实根，求证：
（Ⅰ）由，可得，当，即时，函数单调递增；
当，
即时，函数单调递减．所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
（Ⅱ）设，则，，曲线在点处的切线方程为，
，令，，则．
由于在单调递减,故在单调递减,又因为，所以当
时，，所以当时，，所以在单调递增，在
单调递减，所以对任意的实数，，对于任意的正实数，都有．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得．因为在单调递减．又由（Ⅱ）知，所以．类似的，设曲线在原点处的切线为，可得，对于任意的，有，即．设方程的根为，可得．因为在单调递增，．因此，所以．
【评析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．
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