高考广东理科数学试题及答案word解析版Word下载.docx

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（4）

【2014年广东，理4，5分】若实数满足，则曲线与曲线的（）

（A）离心率相等（B）虚半轴长相等（C）实半轴长相等（D）焦距相等

【答案】D

【解析】，，，从而两曲线均为双曲线，又，两双曲线的焦距相等，故选D．

（5）

【2014年广东，理5，5分】已知向量，则下列向量中与成夹角的是（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】，即这两向量的夹角余弦值为，从而夹角为，故选A．

（6）

【2014年广东，理6，5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）

（A）200,20（B）100,20（C）200,10（D）100,10

【解析】样本容量为，抽取的高中生近视人数为：

，故选A．

（7）

【2014年广东，理7，5分】若空间中四条两两不同的直线，满足，，则下列结论一定正确的是（）

（A）（B）（C）既不垂直也不平行（D）的位置关系不确定

【解析】平面中的四条直线，，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选D．

（8）

【2014年广东，理8，5分】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）

（A）60（B）90（C）120（D）130

【解析】可取，和为1的元素个数为：

；

和为2的元素个数为：

和为3的元素个数为：

，故满足条件的元素总的个数为，故选D．

二、填空题：

本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9~13）

（9）

【2014年广东，理9，5分】不等式的解集为．

【答案】

【解析】数轴上到1与距离之和为5的数为和2，故该不等式的解集为：

．

（10）

【2014年广东，理10，5分】曲线在点处的切线方程为．

【解析】，，所求切线方程为，即．

（11）

【2014年广东，理11】，5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．

【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率为．

（12）

【2014年广东，理12，5分】在中，角所对应的边分别为，已知，

则．

【答案】2

【解析】解法一：

由射影定理知，从而，．

解法二：

由上弦定理得：

，即，，即，．

解法三：

由余弦定理得：

，即，，即．

（13）

【2014年广东，理13，5分】若等比数列的各项均为正数,且,则．

【答案】50

【解析】，，设，则，

，．

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

（14）

【2014年广东，理14，5分】

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和的交点的直角坐标为．

【解析】即，故其直角坐标方程为：

，的直角坐标系方程为：

，与的交点的直角坐标为．

（15）

【2014年广东，理15，5分】

（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则．

【答案】9

【解析】显然，．

三、解答题：

本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（16）

【2014年广东，理16，12分】已知函数，且．

（1）求的值；

（2）若，，求．

解：

（1），．

（2）由

（1）得：

，

，，，

（17）

【2014年广东，理17，12分】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：

件），获得数据如下：

30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．

根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

分组

频数

频率

3

0.12

5

0.20

8

0.32

（1）确定样本频率分布表中和的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的概率．

（1），，，．

（2）频率分布直方图如下所示：

（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间的概率为，设日加工零件数落在区

间的人数为随机变量，则，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间

的概率为：

（18）

【2014年广东，理18，14分】如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点．

（1）证明：

平面；

（2）求二面角的余弦值．

（1）平面，，平面平面，平面平面，

平面，，平面，平面，，又

，，平面，，平面．

（2）解法一：

过作交于，平面，平面，过作于，连

则为二面角的平面角，设，，，从而，

，，，即，，还易求得，，从而

，易得，，，，

故，．

解法二：

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，

，设，则，，可得，从而，易得

，取面的一个法向量为，设面的一个法向量为，

利用，且，得可以是，从而二面角的余弦值为．

（19）

【2014年广东，理19，14分】设数列的前和为,满足，且．

（2）求数列的通项公式．

（1）

，

联立解得，，综上，，．

（2）当时，

并整理得：

，由

（1）猜想，以下用数学归纳法证明：

（ⅰ）由

（1）知，当时，，猜想成立；

（ⅱ）假设当时，猜想成立，即，则当时，

这就是说时，猜想也成立，从而对一切，．

（20）

【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．

（1），，，，椭圆的标准方程为：

（2）若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．

若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，即，将之代入椭圆方程

中并整理得：

，依题意，，

即，即，

，两切线相互垂直，，即，，

显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．

（21）

【2014年广东，理21，14分】设函数，其中．

（1）求函数的定义域（用区间表示）；

（2）讨论在区间上的单调性；

（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）．

（1），则或

由得：

，，

方程的解为，由得或，

由得，方程的判别式，

该方程的解为，由得．

（2）设，

则，

（ⅰ）当时，，，；

（ⅱ）当时，，，；

（ⅲ）当时，，，；

（ⅳ）当时，，，．

综上，在上的单调增区间为：

在上的单调减区间为：

（3）设，由

（1）知，当时，；

又，显然，当时，，

从而不等式，

（ⅰ）当时，，欲使，即，

亦即，即；

（ⅱ）时，，，

此时，即；

（ⅲ）时，，不合题意；

（ⅳ）时，，，，

不合题意；

（ⅴ）时，，欲使，则，

即，从而．

综上所述，的解集为：

6