数学建模第二章作业答案章绍辉.docx
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数学建模第二章作业答案章绍辉
习题2作业讲评
1.继续考虑2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？
“两秒准则”是否足够安全？
对于安全车距，你有没有更好的建议？
（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何.刹车距离与车速的经验公式，速度单位为m/s，距离单位为m）
解答
（1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系.引入以下符号：
D～前后车距（m）；v～车速（m/s）；
于是“两秒准则”的数学模型为.与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取.
比较与，得：
所以当（约合54.43km/h）时，有dD，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全.也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况.
另外，还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全.用以下MATLAB程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.
v=（20:
5:
80）.*0.44704;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376];
d2=0.3048.*d2;
k1=0.75;k2=0.082678;K2=2;
d1=[v;v;v].*k1;
d=d1+d2;
plot（[0,40],[0,K2*40],'k'）
holdon
plot（0:
40,polyval（[k2,k1,0],0:
40）,':
k'）
plot（[v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2）
title（'比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则'）
legend（'两秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2）
xlabel（'车速v（m/s）'）
ylabel（'距离（m）'）
holdoff
图1
（2）用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间（表1），并以尾随时间为依据，提出更安全的“t秒准则”（表2）——后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数t秒钟之后到达同一标志.
表1尾随时间
车速（mph）
车速（m/s）
最大刹车距离（m）
尾随时间（s）
20
8.9408
13.411
1.5
25
11.176
17.831
1.5955
30
13.411
23.774
1.7727
35
15.646
29.413
1.8799
40
17.882
37.795
2.1136
45
20.117
46.482
2.3106
50
22.352
56.693
2.5364
55
24.587
68.732
2.7955
60
26.822
81.686
3.0455
65
29.058
96.469
3.3199
70
31.293
113.39
3.6234
75
33.528
132.74
3.9591
80
35.763
154.23
4.3125
表2t秒准则
车速（mph）
0～10
10～35
35～60
60～75
t（s）
1
2
3
4
绘制图2的MATLAB程序：
v=（20:
5:
80）.*0.44704;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376];
d2=0.3048.*d2;
k1=0.75;k2=0.082678;
d=d2+[v;v;v].*k1;
vi=0:
40;
plot（[0,10*0.44704],[0,10*0.44704],'k',...
vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:
',...
[v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2）
legend（'t秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2）
holdon
plot（[10,35]*0.44704,2*[10,35]*0.44704,'k',...
[35,60]*0.44704,3*[35,60]*0.44704,'k',...
[60,75]*0.44704,4*[60,75]*0.44704,'k'）
title（'t秒准则，刹车距离的模型和数据'）
xlabel（'车速v（m/s）'）
ylabel（'距离（m）'）
holdoff
图2
4.继续考虑2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为
（1）
其中h为价格的平稳率，取h=0.0002.其它模型假设和参数取值保持不变.
（1）试比较
（1）式与（2.3.1）式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系；
（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润；
（3）作灵敏度分析，分别考虑h对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响；
（4）讨论模型关于价格假设的强健性.
解答一（用MATLAB数值计算）
（1）比较
（1）式与（2.3.1）式，
（1）式表明价格先降后升，（2.3.1）式假设价格匀速下降，
（1）式更接近实际（图3）.两个假设都满足，在最佳出售时机附近误差微小（图4）.
绘图的程序
p=@（t）12-0.08*t+0.0002*t.^2;
figure
（1）
n=400;
plot（[0,n],[12,12-0.08*n],'k:
',...
0:
.1:
n,p（0:
.1:
n）,'k'）
axis（[0,400,0,20]）
title（'模型假设
（1）式与（2.3.1）式的比较'）
legend（'p（0）-gt
（1）式',...
'p（0）-gt+ht^2（2.3.1）式'）
xlabel（'t（天）'）
ylabel（'p（元/公斤）'）
figure
（2）
n=20;
plot（[0,n],[12,12-0.08*n],'k:
',...
0:
.1:
n,p（0:
.1:
n）,'k'）
title（'模型假设
（1）式与（2.3.1）式的比较'）
legend（'p（0）-gt
（1）式',...
'p（0）-gt+ht^2（2.3.1）式'）
xlabel（'t（天）'）,ylabel（'p（元/公斤）'）
图3
图4
（2）在
（1）式和（2.3.1）式组成的假设下，多赚的纯利润为
保留h，代入其他具体数值，得
令
解得生猪出售时机为
（舍去负根）
多赚的纯利润为
.
代入h=0.0002，得天，元.
或者用MATLAB函数fminbnd计算，脚本如下：
C=@（t）3.2*t;
w=@（t）90+t;
p=@（t,h）12-0.08*t+h*t.^2;
Q=@（t,h）p（t,h）.*w（t）-C（t）-90*12;
Qh=@（t）-Q（t,0.0002）;
t1=fminbnd（Qh,0,30）
Q1=Q（t1,0.0002）
为帮助理解，可用以下脚本绘制图5：
figure
（2）
tp=0:
250;
plot（tp,Q（tp,0.0002）,'k'）
title（'纯利润Q'）
xlabel（'t（天）'）
ylabel（'Q（元）'）
图5
（3）用以下MATLAB脚本计算灵敏度和，将结果列表.
结论：
h的微小变化对t和Q的影响都很小
Qh=@（t）-Q（t,0.0002*1.01）;
[tn,Qn]=fminbnd（Qh,0,30）;
（tn-t1）/t1/0.01
（-Qn-Q1）/Q1/0.01
Qh=@（t）-Q（t,0.0002*1.05）;
[tn,Qn]=fminbnd（Qh,0,30）;
（tn-t1）/t1/0.05
（-Qn-Q1）/Q1/0.05
Qh=@（t）-Q（t,0.0002*1.1）;
[tn,Qn]=fminbnd（Qh,0,30）;
（tn-t1）/t1/0.1
（-Qn-Q1）/Q1/0.1
表3数值计算最佳出售时机t对h的灵敏度
（%）
（%）
0.000202
1
13.886
0.41459
0.41459
0.00021
5
14.121
2.1176
0.42352
0.00022
10
14.431
4.3536
0.43536
表4数值计算多赚的纯利润Q对h的灵敏度
（%）
（%）
0.000202
1
10.838
0.36936
0.36936
0.00021
5
11.001
1.8802
0.37604
0.00022
10
11.214
3.8479
0.38479
（4）市场价格是经常波动的，如果价格下跌，往往会止跌回稳，模型假设
（1）式以二次函数来刻画价格止跌回升的变化趋势，如果考虑的时间段长达数月，
（1）式比（2.3.1）式更接近实际（见图3），但是本问题的最佳出售时机不超过20天，
（1）式与（2.3.1）式在最佳出售时机附近非常近似（见图4），
（1）式导致的模型解答可以由（2.3.1）式导致的解答加上灵敏度分析所代替.所以采用更为简单的（2.3.1）式作为假设更好.
具体分析如下：
由，得
，
代入h=0.0002，t=13.82852279，g=0.08，得
.
由于，根据课本2.3节，代入，t=10，算得，与t=13.829只相差两天.
用于以上分析计算的MATLAB脚本：
dg_g=（12-p（ts,0.0002））/ts/0.08-1
10+dg_g*10*（-5.5）
解答二（用MATLAB的SymbolicMathToolbox的MuPAD软件符号计算）
（1）运行以下MuPAD语句，绘得图6和图7：
plot（plot:
:
Function2d（12-0.08*t+0.0002*t^2,t=0..400）,
plot:
:
Function2d（12-0.08*t,t=0..150,
LineStyle=Dashed））;
plot（plot:
:
Function2d（12-0.08*t+0.0002*t^2,t=0..20）,
plot:
:
Function2d（12-0.08*t,t=0..20,
LineStyle=Dashed）,#O）;
（1）式表明价格先降后升，在实际当中有一定道理.而（2.3.1）式假设价格匀速下降.两个假设都满足，在最佳出售时机附近误差微小.
图6假设（2.3.1）式与
（1）式的比较
图7假设（2.3.1）式与
（1）式的比较
（2）在
（1）式和（2.3.1）式组成的假设下，保留h，代入其他具体数值，计算多赚的纯利润.运行以下MuPAD语句：
C:
=t->32/10*t:
w:
=t->90+t:
p:
=（t,h）->12-8/100
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