数学建模第二章作业答案章绍辉.docx

1、数学建模第二章作业答案章绍辉习题2作业讲评1. 继续考虑2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式，速度单位为m/s，距离单位为m）解答 （1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号：D 前后车距（m）；v 车速（m/s）；于是“两秒准则”的数学模型为. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取.比较与，得：所以当（约合54.43 km/h）时，有dD，即

2、前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全. 也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况.另外，还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全. 用以下MATLAB程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;

3、k1=0.75; k2=0.082678; K2=2;d1=v;v;v.*k1; d=d1+d2;plot(0,40,0,K2*40,k)hold onplot(0:40,polyval(k2,k1,0,0:40),:k)plot(v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)title(比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则)legend(两秒准则,刹车距离理论值,. 刹车距离的最小值、平均值和最大值,2)xlabel(车速v（m/s）)ylabel(距离（m）)hold off图1（2）用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间（表1），并以尾随时间为依据，提出更安全的“t

4、秒准则”（表2）后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数t秒钟之后到达同一标志.表1 尾随时间车速(mph)车速(m/s)最大刹车距离(m)尾随时间(s)208.940813.4111.52511.17617.8311.59553013.41123.7741.77273515.64629.4131.87994017.88237.7952.11364520.11746.4822.31065022.35256.6932.53645524.58768.7322.79556026.82281.6863.04556529.05896.4693.31997031.293113.393.62

5、347533.528132.743.95918035.763154.234.3125表2 t秒准则车速(mph)010103535606075t (s)1234绘制图2的MATLAB程序：v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.08267

6、8;d=d2+v;v;v.*k1;vi=0:40;plot(0,10*0.44704,0,10*0.44704,k,. vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,k:,. v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)legend(t 秒准则,刹车距离理论值,. 刹车距离的最小值、平均值和最大值,2)hold onplot(10,35*0.44704,2*10,35*0.44704,k,. 35,60*0.44704,3*35,60*0.44704,k,. 60,75*0.44704,4*60,75*0.44704,k)title(t 秒准则，刹车距离的模型和数据)xlabel(车速v（m/

7、s）)ylabel(距离（m）)hold off图24. 继续考虑2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为 (1)其中h为价格的平稳率，取h=0.0002. 其它模型假设和参数取值保持不变. （1） 试比较(1)式与(2.3.1)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系；（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润；（3）作灵敏度分析，分别考虑h对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响；（4）讨论模型关于价格假设的强健性.解答一（用MATLAB数值计算）（1）比较(1)式与(2.3.1)式，(1)式表明价格先降后升，(2.3.1)式假设价格匀速下降，(1)式更

8、接近实际（图3）. 两个假设都满足，在最佳出售时机附近误差微小（图4）.绘图的程序p=(t)12-0.08*t+0.0002*t.2;figure(1)n=400;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,. 0:.1:n,p(0:.1:n),k)axis(0,400,0,20)title(模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较)legend(p(0) - g t (1)式,. p(0) - g t + h t2 (2.3.1)式)xlabel(t（天）)ylabel(p（元/公斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,. 0:.1:n,p

9、(0:.1:n),k)title(模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较)legend(p(0) - g t (1)式,. p(0) - g t + h t2 (2.3.1)式)xlabel(t（天）), ylabel(p（元/公斤） )图3图4（2）在(1)式和(2.3.1)式组成的假设下，多赚的纯利润为保留h，代入其他具体数值，得令解得生猪出售时机为（舍去负根）多赚的纯利润为.代入h=0.0002，得天，元.或者用MATLAB函数fminbnd计算，脚本如下：C=(t)3.2*t;w=(t)90+t;p=(t,h)12-0.08*t+h*t.2;Q=(t,h)p(t,h).*w(t)-C

10、(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,0.0002);t1=fminbnd(Qh,0,30)Q1=Q(t1,0.0002)为帮助理解，可用以下脚本绘制图5：figure(2)tp=0:250;plot(tp,Q(tp,0.0002),k)title(纯利润Q)xlabel(t（天）)ylabel(Q（元） )图5（3）用以下MATLAB脚本计算灵敏度和，将结果列表. 结论：h的微小变化对t和Q的影响都很小Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.01(-Qn-Q1)/Q1/0.01Qh=(t)-Q(t,0.000

11、2*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.05(-Qn-Q1)/Q1/0.05Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.1(-Qn-Q1)/Q1/0.1表3 数值计算最佳出售时机t对h的灵敏度(%)(%)0.000202113.8860.414590.414590.00021514.1212.11760.423520.000221014.4314.35360.43536表4 数值计算多赚的纯利润Q对h的灵敏度(%)(%)0.000202110.8380.369360.369

12、360.00021511.0011.88020.376040.000221011.2143.84790.38479（4）市场价格是经常波动的，如果价格下跌，往往会止跌回稳，模型假设(1)式以二次函数来刻画价格止跌回升的变化趋势，如果考虑的时间段长达数月，(1)式比(2.3.1)式更接近实际（见图3），但是本问题的最佳出售时机不超过20天，(1)式与(2.3.1)式在最佳出售时机附近非常近似（见图4），(1)式导致的模型解答可以由(2.3.1)式导致的解答加上灵敏度分析所代替. 所以采用更为简单的(2.3.1)式作为假设更好. 具体分析如下：由，得，代入h=0.0002，t=13.8285227

13、9，g=0.08，得.由于，根据课本2.3节，代入，t=10，算得，与t=13.829只相差两天. 用于以上分析计算的MATLAB脚本：dg_g=(12-p(ts,0.0002)/ts/0.08-110+dg_g*10*(-5.5)解答二（用MATLAB的Symbolic Math Toolbox的MuPAD软件符号计算）（1）运行以下MuPAD语句，绘得图6和图7：plot(plot:Function2d(12-0.08*t+0.0002*t2,t=0.400), plot:Function2d(12-0.08*t,t=0.150, LineStyle=Dashed);plot(plot:F

14、unction2d(12-0.08*t+0.0002*t2,t=0.20), plot:Function2d(12-0.08*t,t=0.20, LineStyle=Dashed),#O);(1)式表明价格先降后升，在实际当中有一定道理. 而 (2.3.1)式假设价格匀速下降. 两个假设都满足，在最佳出售时机附近误差微小.图6 假设(2.3.1)式与(1)式的比较图7 假设(2.3.1)式与(1)式的比较(2) 在(1)式和(2.3.1)式组成的假设下，保留h，代入其他具体数值，计算多赚的纯利润. 运行以下MuPAD语句：C:=t-32/10*t:w:=t-90+t:p:=(t,h)-12-8/100