初中数学竞赛辅导资料70_精品文档.doc

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初中数学竞赛辅导资料（70）

正整数简单性质的复习

甲.连续正整数

一.n位数的个数：

一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么n位数的个数共__________.（n是正整数）

练习：

1.一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.

2.　由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；

　　　　　　　　　　　　100110021003……19881989是_______位数.

3.除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个.

4.从1到100的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个；

从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.

二.连续正整数的和：

1+2+3+……+n=（1+n）×.

把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.

练习：

5.计算2+4+6+……+100=__________.

6.1+3+5+……+99=____________.

7.5+10+15+……+100=_________.

8.1+4+7+……+100=____________.

9.1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？

答______

10.和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.

11.和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.

三.由连续正整数连写的整数，各位上的数字和

整数123456789各位上的数字和是：

（0+9）+（1+8）+…+（4+5）=9×5=45；

1234…99100各位数字和是（0+99）+（1+98）+…+（49+50）+1=18×50+1=901.

练习：

12.整数1234……9991000各位上的数字和是_____________.

13.把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：

这个数用9除的余数是__________.

（1987年全国初中数学联赛题）

14.由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：

①它是一个________位数；

②它的各位上的数字和等于________；

③从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么剩下的数的前十位是___________________________.

四.连续正整数的积：

①1×2×3×…×n记作n!

读作n的阶乘.

②n个连续正整数的积能被n!

整除.

如：

2!

|a（a+1）,3!

|a（a+1）（a+2）,n!

|a（a+1）（a+2）…（a+n－1）.a为整数.

③n!

中含有质因数m的个数是++…+.

[x]表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3…mi≤n

如：

1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：

=3+1=4

练习：

15.在100!

的积中，含质因数5的个数是：

____

16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个　　　　　　（1988年全国初中数学联赛题）

17.求证：

10494|1989!

18.求证：

4!

|a（a2－1）（a+2）a为整数

五.两个连续正整数必互质

练习：

19.如果n+1个正整数都小于2n,那么必有两个是互质数，试证之.

乙.正整数十进制的表示法

一.n+1位的正整数记作：

an×10n+an－1×10n－1+……+a1×10+a0

其中n是正整数，且0≤ai≤9（i=1,2,3,…n）的整数,最高位an≠0.

例如：

54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.

例题：

从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233.试证：

A能被99整除.

证明：

A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33

=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.

∵100的任何次幂除以9的余数都是1，即100n=（99+1）n≡1（mod9）

∴A=99k+12+13+14+……+31+32+33（k为正整数）

=99k+（12+33）+（13+32）+…+（22+23）

=99k+45×11

=99k+99×5.

∴A能被99整除.

练习：

20.把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除

二.常见的一些特例

=10n－1,=（10n－1）,（10n－1）.

例题：

试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.

证明：

第n个数是=×10n+

=（10n+2）

=

=

=×.证毕.

练习：

21.化简×+1=_______________________________.

22.化简=____________________________________________.

23.求证是合数.

24.已知：

存在正整数n,能使数被1987整除.

求证：

数p=和

数q=都能被1987整除.

　　　（1987年全国初中数学联赛题）

25.证明：

把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7（或13）整除，则这个正整数就能被7（或13）整除.

26.求证：

×15+1是完全平方数.

丙.末位数的性质

.一.用N（a）表示自然数的个位数.例如a=124时，N（a）=4；　a=－3时，N（a）=3.

1.N（a4k+r）=N（ar）a和k都是整数，r=1,2,3,4.

特别的：

个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9的正偶数次幂的个位数也是它本身.

2.N（a）=N（b）N（a－b）=010|（a－b）.

3.若N（a）=a0,N（b）=b0.则N（an）=N（a0n）；N（ab）=N（a0b0）.

例题1：

求①53100；和②7的个位数.

解：

①N（53100）=N（34×24+4）=N（34）=1

②先把幂的指数77化为4k+r形式，设法出现4的因数.

77=77－7+7=7（76－1）+4+3

=7（72－1）（74+72+1）+4+3

=7×4×12×（74+72+1）+4+3

=4k+3

∴N（7）=N（74k+3）=N（73）=3.

练习：

27.19891989的个位数是______，9的个位数是_______.

28.求证：

10|（19871989－19931991）.

29.2210×3315×7720×5525的个位数是______.

二.自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；

连续整数平方的个位数的和，有如下规律：

12，22，32，……，102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.

1.用这一性质计算连续整数平方的个位数的和

例题1.填空：

12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.

（1991年全国初中数学联赛题）

解：

∵12，22，32，……，102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.

11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45.所以所求的个位数字是：

（1+4+9+6+5+5+9+4+0）×（12345678+1）的个位数5.

2.为判断不是完全平方数提供了一种方法

例题2.求证：

任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.

证明：

（用反证法）设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：

（n－2）2+（n－1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2=k2（n,k都是整数）

5（n2+2）=k2.

∵k2是5的倍数，k也是5的倍数.

设k=5m,则5（n2+2）=25m2.

n2+2=5m2.

n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么n2的倍数是8或3.

但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.

∴假设不能成立

∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.

3.判断不是完全平方数的其他方法

例题3.已知：

a是正整数.

求证：

a（a+1）+1不是完全平方数

证明：

∵a（a+1）+1=a2+a+1，且a是正整数

∴a2

∵a和a+1是相邻的两个正整数，a（a+1）+1介于它们的平方之间

∴a（a+1）+1不是完全平方数

例题4.求证：

（n>1的正整数）不是完全平方数

证明：

根据奇数的平方数除以4必余1，即（2k+1）2=4（k+1）+1.

但==4k+11=4k+4×2+3=4（k+2）+3

即除以4余数为3，而不是1，

∴它不是完全平方数.

例题5.求证：

任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.

证明：

设2a+1,2b+1（a,b是整数）是任意的两个奇数.

∵（2a+1）2+（2b+1）2=4a2+4a+1+4b2+4b+1

=4（a2+b2+a+b）+2.

这表明其和是偶数，但不是4的倍数，

故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.

三.魔术数：

将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N称为魔术数.常见的魔术数有：

a）能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5　（即10的一位正约数是魔术数）

b）能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50（即100的两位正约数也是魔术数））

c）能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500（即1000的三位正约数也是魔术数）

练习：

30.在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.

（1986年全国初中数学联赛题）

四.两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9.

练习：

31.已知：

n是自然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：

___________________.（1985年上海初中数学竞赛题）

丁.质数、合数

1.正整数的一种分类：

2.质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.

3.互质数：

是指公约数只有1的两个正整数.相邻的两个正整数都是互质数.

例题：

试写出10个连续自然数，个个都是合数.

解