全国版版高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系学案05092247Word文档格式.docx

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1．公理2的三个推论

推论1：

经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：

经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：

经过两条平行直线有且只有一个平面．

2．异面直线判定的一个定理

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

[考点自测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．（　　）

（2）两个平面ABC与DBC相交于线段BC.（　　）

（3）已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．（　　）

（4）没有公共点的两条直线是异面直线．（　　）

答案　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

2．[2018·

福州质检]已知命题p：

a，b为异面直线，命题q：

直线a，b不相交，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件．故选A.

3．[课本改编]若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（　　）

A．b⊂α

B．b∥α

C．b⊂α或b∥α

D．b与α相交或b⊂α或b∥α

答案　D

解析　b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．故选D.

4．[2018·

衡中调研]已知直线a，b，c，有下面四个命题：

①若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

②若a，b相交，b，c相交，则a，c相交；

③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；

④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.

其中真命题的序号是________．

答案　③

解析　①a，c可能相交、平行或异面；

②a，c可能相交、平行或异面；

③正确；

④a，c可能相交、平行或异面．

5.[2018·

大连模拟]如图，在三棱锥C－ABD中，E，F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．

答案　30°

解析　取CB的中点G，连接EG，FG，

∵EG∥AB，FG∥CD，

∴EF与CD所成的角为∠EFG或其补角．

又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.

在Rt△EFG，EG＝AB＝1，

FG＝CD＝2，∴sin∠EFG＝，

∴∠EFG＝30°

，

∴EF与CD所成的角为30°

板块二　典例探究·

考向突破

考向　平面基本性质的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

（1）E，C，D1，F四点共面；

（2）CE，D1F，DA三线共点．

证明　

（1）如图所示，连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.

∴E，C，D1，F四点共面．

（2）∵EF∥CD1，EF<

CD1，

∴CE与D1F必相交，设交点为P.

则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．

触类旁通

1．证明三点共线的两种方法

（1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点都在交线上，即三点共线．

（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线．

2．证明三线共点的思路

先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题．通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线．

【变式训练1】　如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB、AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

（1）求证：

E，F，G，H四点共面；

（2）设EG与FH交于点P.

求证：

P，A，C三点共线．

证明　

（1）∵E，F分别为AB，AD的中点，

∴EF∥BD.

在△BCD中，＝＝，

∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．

（2）由

（1）知EF綊BD，GH綊BD.

∴四边形FEGH为梯形，∴GE与HF交于一点，设EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，

∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.

∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，

又平面ABC∩平面ADC＝AC，

∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．

考向　空间两条直线的位置关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

命题角度1　两直线位置关系的判定

例2　[2015·

广东高考]若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

解析　由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．故选D.

命题角度2　异面直线的判定

例3　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________（注：

把你认为正确的结论序号都填上）．

答案　③④

解析　因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；

取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；

因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；

同理④正确，故填③④.

空间两条直线位置关系的判定方法

考向　异面直线所成的角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例4　[2017·

全国卷Ⅱ]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°

，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.

由题意知∠ABC＝120°

，AB＝2，BC＝CC1＝1，

所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°

在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×

2×

1×

cos60°

＝3，所以BD＝，所以B1D1＝.

又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，

所以cosθ＝＝＝.

故选C.

用平移法求异面直线所成的角的三步法

（1）一作：

根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

（2）二证：

证明作出的角是异面直线所成的角；

（3）三求：

解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；

如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

【变式训练2】　如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

答案　

解析　如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC（或其补角）为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，

AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.

在Rt△CKN中，CK＝＝.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝＝，所以异面直线AN，CM所成的角的余弦值是.

核心规律

1.三个公理的作用是证明点共线、点共面、线共面、线共点等几何问题．

2.求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法，将异面直线所成的角转化成同一平面内的直线所成的角，放到同一个可解的三角形中去求解．

满分策略

1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．

2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．

3.两条异面直线所成角的范围是（0°

，90°

].

板块三　启智培优·

破译高考

题型技法系列11——构造法判定空间线面位置关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[2018·

西安模拟]已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.

其中所有真命题的序号是（　　）

A．①④B．②④C．①D．④

解题视点　判断空间线面的位置关系，常利用正（长）方体及其他几何体模型来判断，把平面、直线看作正（长）方体内及其它几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象具体化．

解析　对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图

（1）所示，故①正确；

对于②，平面α，β可能垂直，如图

（2）所示；

对于③，平面α，β可能垂直，如图（3）所示；

对于④，由m⊥α，α∥β，可得m⊥β.因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图（4）所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.

答题启示　由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断.构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证.

跟踪训练

郑州模拟]设l是直线，α，β是两个不同的平面，（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

答案　B

解析　解法一：

设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；

由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；

若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；

已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．

解法二：

借助于长方体模型解决本题：

对于A，如图①，α与β可相交；

对于B，如图②，不论β在何位置，都有α⊥β；

对于C，如图③，l可与β平行或l⊂β内；

对于D，如图④，l⊥β或l⊂β或l∥β.

板块四　模拟演练·

提能增分

[A级　基础达标]

1．[2018·

济宁模拟]直线l1，l2