届苏教版导数单元测试Word文档下载推荐.docx
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（x）=x/2，k=f'
（x）=x/2=1/2，x=1，所以：
切点的横坐标是1.
4.【2012全国新课标，文13】曲线y＝x（3lnx＋1）在点（1,1）处的切线方程为__________．
4x－y－3＝0
5.【2005全国3，文15】曲线在点（1，1）处的切线方程为.
【答案】x+y-2=0
【解析】，，∴切线方程为，即.
6.【2015新课标2文数】已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=．
【答案】8
【解析】
试题分析：
由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与联立得,显然,所以由.
【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.
二．能力题组
1.【2013课标全国Ⅱ，文21】
（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2e－x.
（1）求f（x）的极小值和极大值；
（2）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
（2）设切点为（t，f（t）），
则l的方程为y＝f′（t）（x－t）＋f（t）．
所以l在x轴上的截距为m（t）＝.
由已知和①得t∈（－∞，0）∪（2，＋∞）．
令h（x）＝（x≠0），则当x∈（0，＋∞）时，h（x）的取值范围为，＋∞）；
当x∈（－∞，－2）时，h（x）的取值范围是（－∞，－3）．
所以当t∈（－∞，0）∪（2，＋∞）时，m（t）的取值范围是（－∞，0）∪，＋∞）．
综上，l在x轴上的截距的取值范围是（－∞，0）∪，＋∞）．
2.【2005全国2，文21】
（本小题满分12分）
设为实数，函数．
（Ⅰ）的极值；
（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．
【解析】：
（I）=3－2－1
若=0，则==－，=1
当变化时，，变化情况如下表：
（－∞，－）
－
（－，1）
1
（1，+∞）
+
极大值
极小值
∴的极大值是，极小值是
∴当∪（1，+∞）时，曲线=与轴仅有一个交点。
3.【2010全国新课标，文21】设函数f（x）＝x（ex－1）－ax2.
（1）若a＝，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
（1）a＝时，f（x）＝x（ex－1）－x2，
f′（x）＝ex－1＋xex－x＝（ex－1）（x＋1）．
当x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0；
当x∈（－1,0）时，f′（x）＜0；
当x∈（0，＋∞）时f′（x）＞0.
故f（x）在（－∞，－1），（0，＋∞）上单调增加，在（－1,0）上单调减少．
（2）f（x）＝x（ex－1－ax）．
令g（x）＝ex－1－ax，则g′（x）＝ex－a.
若a≤1，则当x∈（0，＋∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，则g（0）＝0，从而当x≥0时g（x）≥0，
即f（x）≥0.
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）＝0，
从而当x∈（0，lna）时g（x）＜0，即f（x）＜0.
综合得a的取值范围为（－∞，1]．
三．拔高题组
1.【2014全国2，文11】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
2.【2013课标全国Ⅱ，文11】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是（ ）．
A．∃x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图像是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
C
若x0是f（x）的极小值点，则y＝f（x）的图像大致如下图所示，则在（－∞，x0）上不单调，故C不正确．
3.【2014全国2，文21】
已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：
当时，曲线与直线只有一个交点.
增.所以．所以在没有实根，综上，在上有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点.
4.【2012全国新课标，文21】设函数f（x）＝ex－ax－2．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，（x－k）f′（x）＋x＋1＞0，求k的最大值．
（1）f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（x）＝ex－a.
若a≤0，则f′（x）＞0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增．
若a＞0，则当x∈（－∞，lna）时，f′（x）＜0；
当x∈（lna，＋∞）时，f′（x）＞0，
所以，f（x）在（－∞，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增．
（2）由于a＝1，所以（x－k）f′（x）＋x＋1＝（x－k）（ex－1）＋x＋1.
故当x＞0时，（x－k）f′（x）＋x＋1＞0等价于k＜＋x（x＞0）．①
令g（x）＝＋x，
则.
由
（1）知，函数h（x）＝ex－x－2在（0，＋∞）上单调递增．
而h
（1）＜0，h
（2）＞0，
所以h（x）在（0，＋∞）上存在唯一的零点．
故g′（x）在（0，＋∞）上存在唯一的零点．
设此零点为α，则α∈（1,2）．
当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；
当x∈（α，＋∞）时，g′（x）＞0.
所以g（x）在（0，＋∞）上的最小值为g（α）．
又由g′（α）＝0，可得eα＝α＋2，所以g（α）＝α＋1∈（2,3）．
由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2.
5.【2010全国2，文21】已知函数f（x）＝x3－3ax2＋3x＋1.
（1）设a＝2，求f（x）的单调区间；
（2）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．
（2）f′（x）＝3（x－a）2＋1－a2]．
当1－a2≥0时，f′（x）≥0，f（x）为增函数，故f（x）无极值点；
当1－a2＜0时，f′（x）＝0有两个根
x1＝a－或x2＝a＋.
由题意知：
2＜a－＜3，①
或2＜a＋＜3.②
①式无解，②式的解为＜a＜.因此a的取值范围是（，）．
6.【2007全国2，文22】
已知函数f（x）=ax3-bx2+（2-b）x+1
在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.
（1）证明a＞0;
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
当时，为增函数，，由，得.
（Ⅱ）在题设下，等价于 即.
化简得.
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：
.
所围成的的内部，其三个顶点分别为：
在这三点的值依次为.
所以的取值范围为.
7.【2005全国3，文21】
用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°
角,再焊接而成（如图）,问该容器的高为多少时,容器的容积最大?
最大容积是多少?
8.【2017新课标2，文21】
（12分）
设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】
（1）在和单调递减，在单调递增；
（2）.
（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；
（2）对分类讨论，当a≥1时，，满足条件；
当时，取
，当0＜a＜1时，取，
试题解析：
（1）.
令得.
当时，；
当时，.
当0＜x＜1时，，，取，
当时，取则.
综上，a的取值范围是1，+∞）.
【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立
【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；
也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
9.【2015新课标2文数】
（本小题满分12分）已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.
（I）,在是单调递增；
在单调递增,在单调递减；
（II）.
（I）的定义域为,,若,则,在是单调递增；
若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.
（II）由（I）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.
【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：
互斥、无漏、最简；
第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
10.【2016新课标2文数】（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
（Ⅰ）；
（Ⅱ）
设，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
【考点】导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>
0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）<
0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
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