1、(x)=x/2,k=f(x)=x/2=1/2,x=1,所以:切点的横坐标是1.4. 【2012全国新课标,文13】曲线yx(3lnx1)在点(1,1)处的切线方程为_4xy305. 【2005全国3,文15】曲线在点(1,1)处的切线方程为 .【答案】x+y-2=0【解析】,切线方程为,即.6. 【2015新课标2文数】已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= 【答案】8【解析】试题分析:由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 .【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.二能力题组1. 【2013课标全国,文21】(本小题满分12分)已知函
2、数f(x)x2ex.(1)求f(x)的极小值和极大值;(2)当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围 (2)设切点为(t,f(t),则l的方程为yf(t)(xt)f(t)所以l在x轴上的截距为m(t).由已知和得t(,0)(2,)令h(x)(x0),则当x(0,)时,h(x)的取值范围为,);当x(,2)时,h(x)的取值范围是(,3)所以当t(,0)(2,)时,m(t)的取值范围是(,0),)综上,l在x轴上的截距的取值范围是(,0),)2. 【2005全国2,文21】(本小题满分12分)设为实数,函数() 的极值;() 当在什么范围内取值时,曲线与轴仅有一个交点【
3、解析】:(I)=321若=0,则=, =1当变化时,变化情况如下表:(, )(,1)1(1,+)+极大值极小值的极大值是,极小值是当(1,+)时,曲线=与轴仅有一个交点。3. 【2010全国新课标,文21】设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)若a,求f(x)的单调区间; (2)若当x0时f(x)0,求a的取值范围(1)a时,f(x)x(ex1)x2,f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(,1)时,f(x)0;当x(1,0)时,f(x)0;当x(0,)时f(x)0.故f(x)在(,1),(0,)上单调增加,在(1,0)上单调减少(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax,则g
4、(x)exa.若a1,则当x(0,)时,g(x)0,g(x)为增函数,则g(0)0,从而当x0时g(x)0,即f(x)0.若a1,则当x(0,lna)时,g(x)0,g(x)为减函数,而g(0)0,从而当x(0,lna)时g(x)0,即f(x)0.综合得a的取值范围为(,1 三拔高题组1. 【2014全国2,文11】若函数在区间单调递增,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)【答案】D2. 【2013课标全国,文11】已知函数f(x)x3ax2bxc,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x
5、0)单调递减D若x0是f(x)的极值点,则f(x0)0C若x0是f(x)的极小值点,则yf(x)的图像大致如下图所示,则在(,x0)上不单调,故C不正确3. 【2014全国2,文21】已知函数,曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.()求;()证明:当时,曲线与直线只有一个交点.增.所以所以在没有实根,综上,在上有唯一实根,即曲线与直线只有一个交点.4. 【2012全国新课标,文21】设函数f(x)exax2(1)求f(x)的单调区间;(2)若a1,k为整数,且当x0时,(xk)f(x)x10,求k的最大值(1)f(x)的定义域为(,),f(x)exa.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(,)
6、上单调递增若a0,则当x(,lna)时,f(x)0;当x(lna,)时,f(x)0,所以,f(x)在(,lna)上单调递减,在(lna,)上单调递增(2)由于a1,所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时,(xk)f(x)x10等价于kx(x0)令g(x)x,则.由(1)知,函数h(x)exx2在(0,)上单调递增而h(1)0,h(2)0,所以h(x)在(0,)上存在唯一的零点故g(x)在(0,)上存在唯一的零点设此零点为,则(1,2)当x(0,)时,g(x)0;当x(,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,)上的最小值为g()又由g()0,可得e2,所以g()1(2,3)由
7、于式等价于kg(),故整数k的最大值为2.5. 【2010全国2,文21】已知函数f(x)x33ax23x1.(1)设a2,求f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围 (2)f(x)3(xa)21a2当1a20时,f(x)0,f(x)为增函数,故f(x)无极值点;当1a20时,f(x)0有两个根x1a或x2a.由题意知:2a3, 或2a3. 式无解,式的解为a.因此a的取值范围是(,)6. 【2007全国2,文22】已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0x11x22.(1)证明a0;(
8、2)若z=a+2b,求z的取值范围。当时,为增函数,由,得.()在题设下,等价于即.化简得.此不等式组表示的区域为平面上三条直线:.所围成的的内部,其三个顶点分别为:在这三点的值依次为.所以的取值范围为.7. 【2005全国3,文21】用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?8.【2017新课标2,文21】(12分)设函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,求的取值范围.【答案】(1)在和单调递减,在单调递增;(2). (1)先求函数导数,再求导函数零点
9、,列表分析导函数符号确定单调区间;(2)对分类讨论,当a1时,满足条件;当时,取,当0a1时,取,试题解析:(1). 令得.当时,;当时,.当0x1时,取,当时,取则. 综上,a的取值范围是1,+). 【考点】利用导数求函数单调区间,利用导数研究不等式恒成立【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.9. 【2015新课标2文数】(本小题满分12分)已知.(I)讨论的单调性;(II)当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.(I)
10、,在是单调递增;,在单调递增,在单调递减;(II).(I)的定义域为,若,则,在是单调递增;若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.(II)由(I)知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,于是,当时,当时,因此a的取值范围是.【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则:互斥、无漏、最简;第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.10. 【2016新课标2文数】 (本小题满分12分)已知函数.()当时,求曲线在处的切线方程;()若当时,求的取值范围. ();()设,则,(i)当,时, ,故在上单调递增,因此;(ii)当时,令得由和得,故当时,在单调递减,因此.综上,的取值范围是【考点】 导数的几何意义,利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法:(1)确定函数yf(x)的定义域;(2)求导数yf(x);(3)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间
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