定积分的概念同步练习Word格式.docx

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D．与f（x）、区间[a，b]和ξi的取法都有关

[解析]　由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确．

3．下列说法成立的个数是（　　）

①f（x）dx＝（ξi）

②f（x）dx等于当n趋近于＋∞时，f（ξi）·

无限趋近的值

③f（x）dx等于当n无限趋近于＋∞时，（ξi）无限趋近的常数

④f（x）dx可以是一个函数式子

A．1B．2

C．3D．4

[解析]　由f（x）dx的定义及求法知仅③正确，其余不正确．故应选A.

4．已知f（x）dx＝56，则（　　）

A.f（x）dx＝28B.f（x）dx＝28

C.2f（x）dx＝56D.f（x）dx＋f（x）dx＝56

[答案]　D

[解析]　由y＝f（x），x＝1，x＝3及y＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：

由y＝f（x），x＝1，x＝2及y＝0围成的曲边梯形知由y＝f（x），x＝2，x＝3及y＝0围成的曲边梯形．

∴f（x）dx＝f（x）dx＋f（x）dx

即f（x）dx＋f（x）dx＝56.

故应选D.

5．已知f（x）dx＝6，则6f（x）dx等于（　　）

A．6B．6（b－a）

C．36D．不确定

[答案]　C

[解析]　∵f（x）dx＝6，

∴在6f（x）dx中曲边梯形上、下底长变为原来的6倍，由梯形面积公式，知6f（x）dx＝6f（x）dx＝36.故应选C.

6．设f（x）＝则－1f（x）dx的值是（　　）

[答案]　D

[解析]　由定积分性质（3）求f（x）在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f（x）在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.

7．下列命题不正确的是（　　）

A．若f（x）是连续的奇函数，则

B．若f（x）是连续的偶函数，则

C．若f（x）在[a，b]上连续且恒正，则f（x）dx>

D．若f（x）在[a，b）上连续且f（x）dx>

0，则f（x）在[a，b）上恒正

[解析]　本题考查定积分的几何意义，对A：

因为f（x）是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：

因为f（x）是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f（x）也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f（x）>

0的曲线围成的面积比f（x）<

0的曲线围成的面积大．

[答案]　B

9．利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分－1[（tanx）11＋（cosx）21]dx＝

（　　）

A．2[（tanx）11＋（cosx）21]dx

B．0

C．2（cosx）21dx

D．2

[解析]　∵y＝tanx为[－1,1]上的奇函数，

∴y＝（tanx）11仍为奇函数，而y＝（cosx）21是偶函数，

∴原式＝－1（cosx）21dx＝2（cosx）21dx.故应选C.

10．设f（x）是[a，b]上的连续函数，则f（x）dx－f（t）dt的值（　　）

A．小于零B．等于零

C．大于零D．不能确定

[答案]　B

[解析]　f（x）dx和f（t）dt都表示曲线y＝f（x）与x＝a，x＝b及y＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.

二、填空题

11．由y＝sinx，x＝0，x＝，y＝0所围成的图形的面积可以写成________．

[答案]　

[解析]　由定积分的几何意义可得．

12.（2x－4）dx＝________.

[答案]　12

[解析]　如图A（0，－4），B（6,8）

S△AOM＝×

2×

4＝4

S△MBC＝×

4×

8＝16

∴（2x－4）dx＝16－4＝12.

13．（2010·

新课标全国理，13）设y＝f（x）为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f（x）dx.先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点（xi，yi）（i＝1,2，…，N）．再数出其中满足yi≤f（xi）（i＝1,2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f（x）dx的近似值为________．

[分析]　本题考查了几何概型、积分的定义等知识，难度不大，但综合性较强，很好的考查了学生对积分等知识的理解和应用，题目比较新颖．

[解析]　因为0≤f（x）≤1且由积分的定义知：

f（x）dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f（x）与x轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足yi≤f（xi）的有N1个点，即在函数f（x）的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：

f（x）在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为×

1＝，即f（x）dx＝.

三、解答题

15．利用定积分的几何意义，说明下列等式．

[解析]　

（1）2xdx表示由直线y＝2x，直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S△＝×

1×

2＝1，故2xdx＝1.

（2）－1dx表示由曲线y＝，直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积（而y＝表示圆x2＋y2＝1在x轴上面的半圆），如图所示阴影部分，所以S半圆＝，

16．利用定积分的性质求dx.

[解析]　y＝，y＝sin3x均为[－1,1]上的奇函数，而对于f（x）＝，

∵f（－x）＝＝＝－f（x），

此函数为奇函数．

∵S＝·

2＝（i）2

＝·

n（n＋1）（2n＋1）

＝

∴S＝li＝

即2x2dx＝2×

17．已知函数f（x）＝），求f（x）在区间[－2,2π]上的积分．

[解析]　由定积分的几何意义知

＝π2－4.

18．利用定积分的定义计算xdx.

[解析]　

（1）分割：

将区间[a，b]n等分，则每一个小区间长为Δxi＝（i＝1,2，…，n）．

（2）近似代替：

在小区间[xi－1，xi]上取点：

ξi＝a＋（i＝1,2，…，n）．

Ii＝f（ξi）·

Δxi＝·

.

（3）求和：

In＝（ξi）·

Δxi

＝（b－a）

（4）求极限：

xdx＝liIn

＝li（b－a）

＝（b－a）＝（b2－a2）．