人教版文数高考一轮复习 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例Word格式.docx

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几何表示

坐标表示

模

|a|＝

数量积

b＝|a||b|cosθ

b＝x1x2＋y1y2

夹角

cosθ＝

a⊥b

b＝0

x1x2＋y1y2＝0

|a·

b|与|a||b|的关系

b|≤|a||b|

|x1x2＋y1y2|≤·

[知识拓展]

1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·

b＞0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·

b＜0且a，b不共线．

2．平面向量数量积运算的常用公式

（1）（a＋b）·

（a－b）＝a2－b2.

（2）（a＋b）2＝a2＋2a·

b＋b2.

（3）（a－b）2＝a2－2a·

3．当a与b同向时，a·

b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·

b＝－|a||b|.

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．（　　）

（2）由a·

b＝0，可得a＝0或b＝0.（　　）

（3）由a·

b＝a·

c及a≠0不能推出b＝C．（　　）

（4）在四边形ABCD中，＝且·

＝0，则四边形ABCD为矩形.（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×

　（3）√　（4）×

2．（2016·

全国卷Ⅲ）已知向量＝，＝，则∠ABC＝（　　）

A．30°

　　　B．45°

C．60°

　　　D．120°

A　[因为＝，＝，所以·

＝＋＝.又因为·

＝||||cos∠ABC＝1×

1×

cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°

≤∠ABC≤180°

，所以∠ABC＝30°

.故选A．]

3．（2015·

全国卷Ⅱ）向量a＝（1，－1），b＝（－1,2），则（2a＋b）·

a＝（　　）

A．－1B．0

C．1D．2

C　[法一：

∵a＝（1，－1），b＝（－1,2），∴a2＝2，a·

b＝－3，

从而（2a＋b）·

a＝2a2＋a·

b＝4－3＝1.

法二：

∵a＝（1，－1），b＝（－1,2），

∴2a＋b＝（2，－2）＋（－1,2）＝（1,0），

a＝（1,0）·

（1，－1）＝1，故选C．]

4．（教材改编）已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°

，则向量b在向量a方向上的投影为________．

－2　[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×

cos120°

＝－2.]

5．（2017·

全国卷Ⅰ）已知向量a＝（－1,2），b＝（m,1）．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.

7　[∵a＝（－1,2），b＝（m,1），

∴a＋b＝（－1＋m,2＋1）＝（m－1,3）．

又a＋b与a垂直，∴（a＋b）·

a＝0，

即（m－1）×

（－1）＋3×

2＝0，

解得m＝7.]

（对应学生用书第62页）

平面向量数量积的运算

（1）（2016·

天津高考）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·

的值为

（　　）

A．－　　　　B．　　　　

C．　　　　D．

（2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·

的值为________；

·

的最大值为________.【导学号：

79170135】

（1）B　

（2）1　1　[

（1）如图所示，＝＋.

又D，E分别为AB，BC的中点，

且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，

所以＝＋.

又＝－，

则·

＝·

（－）

＝·

－2＋2－·

＝2－2－·

.

又||＝||＝1，∠BAC＝60°

，

故·

＝－－×

＝.故选B．

（2）法一：

以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），C（1,1），D（0,1），设E（t,0），t∈[0,1]，则＝（t，－1），＝（0，－1），所以·

＝（t，－1）·

（0，－1）＝1.

因为＝（1,0），所以·

（1,0）＝t≤1，

的最大值为1.

由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·

＝||·

1＝1，

当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，

所以（·

）max＝||·

1＝1.]

[规律方法]　　1.求两个向量的数量积有三种方法：

利用定义；

利用向量的坐标运算；

利用数量积的几何意义．

2．

（1）要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．

（2）注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°

，90°

，180°

三种特殊情形．

[变式训练1]　

（1）已知＝（2,1），点C（－1,0），D（4,5），则向量在方向上的投影为（　　）

A．－B．－3

C．D．3

（2）（2018·

榆林模拟）已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．若·

＝3，则·

的值为（　　）【导学号：

79170136】

A．0B．

C．－4D．4

（1）C　

（2）C　[

（1）因为点C（－1,0），D（4,5），所以CD＝（5,5），又＝（2,1），所以向量在方向上的投影为

||cos〈，〉＝＝＝.

（2）由·

＝3得·

（＋）＝·

＝3，

所以||＝1，||＝2，

所以·

＝（＋）·

＋·

＝－6＋2＝－4.]

平面向量数量积的性质

角度1　平面向量的模

（1）（2017·

合肥二次质检）已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥（a－2b），则|b|＝（　　）

A．B．2

C．2D．4

西安模拟）已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.

（1）B　

（2）2　[

（1）由a⊥（a－2b）得a·

（a－2b）＝|a|2－2a·

b＝0.又∵|a－b|＝2，∴|a－b|2＝|a|2－2a·

b＋|b|2＝4，则|b|2＝4，|b|＝2，故选B．

（2）因为＝（＋）

＝（2a＋2b＋2a－6b）＝2a－2b，

所以||2＝4（a－b）2＝4（a2－2b·

a＋b2）

＝4×

（3－2×

2×

×

cos＋4）＝4，

所以||＝2.]

角度2　平面向量的夹角

（1）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.

（2）若向量a＝（k,3），b＝（1,4），c＝（2,1），已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．

（1）　

（2）∪　[

（1）因为a2＝（3e1－2e2）2

＝9－2×

3×

12×

cosα＋4＝9，

所以|a|＝3，

因为b2＝（3e1－e2）2＝9－2×

cosα＋1＝8，

所以|b|＝2，

a·

b＝（3e1－2e2）·

（3e1－e2）

＝9e－9e1·

e2＋2e＝9－9×

＋2＝8，

所以cosβ＝＝＝.

（2）∵2a－3b与c的夹角为钝角，

∴（2a－3b）·

c＜0，

即（2k－3，－6）·

（2,1）＜0，

∴4k－6－6＜0，

∴k＜3.

又若（2a－3b）∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.

当k＝－时，2a－3b＝（－12，－6）＝－6c，

即2a－3b与c反向．

综上，k的取值范围为∪.]

角度3　平面向量的垂直

　（2016·

山东高考）已知向量a＝（1，－1），b＝（6，－4）．若a⊥（ta＋b），则实数t的值为________．

－5　[∵a＝（1，－1），b＝（6，－4），∴ta＋b＝（t＋6，－t－4）．

又a⊥（ta＋b），则a·

（ta＋b）＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.]

[规律方法]　　1.求两向量的夹角：

cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．

2．两向量垂直的应用：

两非零向量垂直的充要条件是：

a⊥b⇔a·

b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

3．求向量的模：

利用数量积求解长度问题的处理方法有：

（1）a2＝a·

a＝|a|2或|a|＝.

（2）|a±

b|＝＝.

（3）若a＝（x，y），则|a|＝.

平面向量与三角函数的综合

　（2018·

佛山模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝（sinx，cosx），x∈.

（1）若m⊥n，求tanx的值；

（2）若m与n的夹角为，求x的值．【导学号：

79170137】

[解]　

（1）因为m＝，n＝（sinx，cosx），m⊥n.

所以m·

n＝0，即sinx－cosx＝0，

所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.

（2）因为|m|＝|n|＝1，所以m·

n＝cos＝，

即sinx－cosx＝，

所以sin＝，

因为0＜x＜，所以－＜x－＜，

所以x－＝，即x＝.

[规律方法]　　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

（1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等．

[变式训练2]　（2018·

郴州模拟）已知向量a＝，b＝（cosx，－1）．

（1）当a∥b时，求tan2x的值；

（2）求函数f（x）＝（a＋b）·

b在上的值域．

[解]　

（1）∵a∥b，a＝，b＝（cosx，－1）

∴sinx·

（－1）－·

cosx＝0，

即sinx＋cosx＝0，

得sinx＝－cosx，

∴tanx＝＝－，

∴tan2x＝＝.

（2）∵a＝，b＝（cosx，－1），

∴a·

b＝sinxcosx－，b2＝cos2x＋（－1）2＝cos2x＋1，

∴f（x）＝（a＋b）·

b＋b2＝sinxcosx－＋cos2x＋1＝sin2x＋（1＋cos2x）－＝sin.

∵x∈，∴2x＋∈，

∴sin∈，

∴f（x）＝sin∈.

故函数f（x）＝（a＋b）·

b在上的值域为.