人教版文数高考一轮复习 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例Word格式.docx

1、几何表示坐标表示模|a|数量积b|a|b|cos bx1x2y1y2夹角cos abb0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系b|a|b|x1x2y1y2|知识拓展1两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线2平面向量数量积运算的常用公式 （1）（ab）（ab）a2b2. （2）（ab）2a22abb2. （3）（ab）2a22a3当a与b同向时，ab|a|b|； 当a与b反向时，ab|a|b|.基本能力自测1（思考辨析）判断下列结论的正误（正确的打“”，错误的打“”） （1）两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量

2、（） （2）由ab0，可得a0或b0.（） （3）由abac及a0不能推出bC（） （4）在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形. （） 答案（1）（2）（3）（4）2（2016全国卷）已知向量，则ABC（） A30 B45 C60 D120 A因为，所以.又因为|cosABC11cosABC，所以cosABC.又0ABC180，所以ABC30.故选A3（2015全国卷）向量a（1，1），b（1,2），则（2ab）a（） A1 B0 C1 D2 C法一：a（1，1），b（1,2），a22，ab3， 从而（2ab）a2a2ab431. 法二：a（1，1），b（1,2）， 2ab（2，2

3、）（1,2）（1,0），a（1,0）（1，1）1，故选C4（教材改编）已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_ 2由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.5（2017全国卷）已知向量a（1,2），b（m,1）若向量ab与a垂直，则m_. 7a（1,2），b（m,1）， ab（1m,21）（m1,3） 又ab与a垂直，（ab）a0， 即（m1）（1）320， 解得m7.（对应学生用书第62页）平面向量数量积的运算（1）（2016天津高考）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使

4、得DE2EF，则的值为（） A B C D （2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_. 【导学号：79170135】 （1）B（2）11（1）如图所示，. 又D，E分别为AB，BC的中点， 且DE2EF，所以， 所以. 又， 则（） 22 22. 又|1，BAC60， 故.故选B （2）法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），C（1,1），D（0,1），设E（t,0），t0,1，则（t，1），（0，1），所以（t，1）（0，1）1. 因为（1,0），所以（1,0）t1，的最大值为1.由图知，无论E点在

5、哪个位置，在方向上的投影都是CB1，所以|11， 当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC1， 所以（）max|11. 规律方法1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 2（1）要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量（2）注意向量夹角的大小，以及夹角0，90，180三种特殊情形变式训练1（1）已知（2,1），点C（1,0），D（4,5），则向量在方向上的投影为 （） A B3 C D3 （2）（2018榆林模拟）已知在矩形ABCD中，AB3，BC，2，点F在边CD上若3，则的值为（） 【导学号：79170136】 A0 B C4

6、D4 （1）C（2）C（1）因为点C（1,0），D（4,5），所以CD（5,5），又（2,1），所以向量在方向上的投影为 |cos，. （2）由3得（）3， 所以|1，|2， 所以（）624.平面向量数量积的性质 角度1平面向量的模（1）（2017合肥二次质检）已知不共线的两个向量a，b满足|ab|2且a（a2b），则|b|（） A B2 C2 D4西安模拟）已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC的中点，则|_. （1）B（2）2（1）由a（a2b）得a（a2b）|a|22ab0.又|ab|2，|ab|2|a|22ab|b|24，则|b|24，

7、|b|2，故选B （2）因为（） （2a2b2a6b）2a2b， 所以|24（ab）24（a22bab2） 4（322cos4）4， 所以|2. 角度2平面向量的夹角（1）已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _. （2）若向量a（k,3），b（1,4），c（2,1），已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_ （1）（2）（1）因为a2（3e12e2）2 92312cos 49， 所以|a|3， 因为b2（3e1e2）292cos 18， 所以|b|2， ab（3e12e2）（3e1e2） 9e9e1e22e9928， 所以co

8、s . （2）2a3b与c的夹角为钝角， （2a3b）c0， 即（2k3，6）（2,1）0， 4k660， k3. 又若（2a3b）c，则2k312，即k. 当k时，2a3b（12，6）6c， 即2a3b与c反向 综上，k的取值范围为. 角度3平面向量的垂直（2016山东高考）已知向量a（1，1），b（6，4）若a（tab），则实数t的值为_ 5a（1，1），b（6，4），tab（t6，t4） 又a（tab），则a（tab）0，即t6t40，解得t5. 规律方法1.求两向量的夹角：cos ，要注意0， 2两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|. 3求向量的模：利

9、用数量积求解长度问题的处理方法有： （1）a2aa|a|2或|a|. （2）|ab|. （3）若a（x，y），则|a|.平面向量与三角函数的综合（2018佛山模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n（sin x，cos x），x. （1）若mn，求tan x的值； （2）若m与n的夹角为，求x的值 【导学号：79170137】 解（1）因为m，n（sin x，cos x），mn. 所以mn0，即sin xcos x0， 所以sin xcos x，所以tan x1. （2）因为|m|n|1，所以mncos， 即sin xcos x， 所以sin， 因为0x，所以x， 所以x，即x. 规律方

10、法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 （1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解 （2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等变式训练2（2018郴州模拟）已知向量a，b（cos x，1） （1）当ab时，求tan 2x的值； （2）求函数f（x）（ab）b在上的值域 解（1）ab，a，b（cos x，1） sin x（1）cos x0， 即sin xcos x0， 得sin xcos x， tan x， tan 2x. （2）a，b（cos x，1）， absin xcos x，b2cos2x（1）2cos2x1， f（x）（ab）bb2sin xcos xcos2x1sin 2x（1cos 2x）sin. x，2x， sin， f（x）sin. 故函数f（x）（ab）b在上的值域为.