学年人教B版高中数学必修3教学案第二章变量间的相关关系两个变量的线性相关 可直接打印Word文件下载.docx

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1两个变量的关系分类函数关系相关关系特征两变量关系确定两变量关系带有随机性2散点图将样本中n个数据点（xi，yi）（i1,2，n）描在平面直角坐标系中得到的图形3正相关与负相关

（1）正相关：

如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关

（2）负相关：

如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关4最小二乘法设x，Y的一组观察值为（xi，yi），i1,2，n，且回归直线方程为abx，当x取值xi（i1,2，n）时，Y的观察值为yi，差yii（i1,2，n）刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q（yiabxi）2作为总离差，并使之达到最小这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法5回归直线方程的系数计算公式回归直线方程归系数系数的计算公式程或式x方加号“”意义区分y的估计值与实际值ya，b上方加“”表示由观察值按最小二乘法求得的估计值1下列命题正确的是（）任何两个变量都具有相关关系；

圆的周长与该圆的半径具有相关关系；

某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；

根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究ABCD解析：

选C显然不对，是函数关系，正确2对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i1,2，10），得散点图图1；

对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i1,2，10），得散点图图2.由这两个散点图可以判断（）A变量x与y正相关，u与v正相关B变量x与y正相关，u与v负相关C变量x与y负相关，u与v正相关D变量x与y负相关，u与v负相关解析：

选C由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关3若施肥量x（kg）与水稻产量y（kg）的线性回归方程为5x250，当施肥量为80kg时，预计水稻产量约为_kg.解析：

把x80代入回归方程可得其预测值580250650（kg）答案：

6504对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示.x24568y3040605070若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，这条回归直线的方程为_解析：

由题意可知5，50.即样本中心为（5,50）设回归直线方程为6.5x，回归直线过样本中心（，），506.55，即17.5，回归直线方程为6.5x17.5答案：

6.5x17.5相关关系的判断典例

（1）下列关系中，属于相关关系的是_（填序号）正方形的边长与面积之间的关系；

农作物的产量与施肥量之间的关系；

人的身高与年龄之间的关系；

降雪量与交通事故的发生率之间的关系

（2）某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.年龄x（岁）123456身高y（cm）788798108115120画出散点图；

判断y与x是否具有线性相关关系解析

（1）在中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；

在中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；

在中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；

在中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系答案：

（2）解：

散点图如图所示由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系两个变量是否相关的两种判断方法

（1）根据实际经验：

借助积累的经验进行分析判断

（2）利用散点图：

通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断活学活用如图所示的两个变量不具有相关关系的是_（填序号）解析：

是确定的函数关系；

中的点大都分布在一条曲线周围；

中的点大都分布在一条直线周围；

中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系答案：

求回归方程典例

（1）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.0.4x2.3B.2x2.4C.2x9.5D.0.3x4.4

（2）一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x（转/秒）1614128每小时生产有缺点的零件数y（件）11985画出散点图；

如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；

在实际生产中，若它们的近似方程为yx，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？

解析

（1）依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点（3,3.5），代入A、B得A正确答案：

A

（2）解：

散点图如图所示：

近似直线如图所示：

由y10得x10，解得x14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内求回归直线方程的步骤

（1）收集样本数据，设为（xi，yi）（i1,2，n）（数据一般由题目给出）

（2）作出散点图，确定x，y具有线性相关关系（3）把数据制成表格xi，yi，x，xiyi.（4）计算，iyi.（5）代入公式计算，公式为（6）写出回归直线方程x.活学活用已知变量x，y有如下对应数据：

x1234y1345

（1）作出散点图；

（2）用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程解：

（1）散点图如图所示

（2），iyi16122039.1491630，0，所以x为所求的回归直线方程.利用线性回归方程对总体进行估计典例下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

x3456y2.5344.5

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程x；

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据

（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？

解

（1）散点图如图：

（2）4.5，3.5，iyi32.5435464.566.5，3242526286，所以0.7，3.50.74.50.35.所以所求的线性回归方程为0.7x0.35.（3）当x100时，0.71000.3570.35（吨标准煤），9070.3519.65（吨标准煤）即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的活学活用（重庆高考）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y（千亿元）567810

（1）求y关于t的回归方程t；

（2）用所求回归方程预测该地区2015年（t6）的人民币储蓄存款解：

（1）列表计算如下：

itiyittiyi11515226412337921448163255102550153655120这里n5，i3，i7.2.又n25553210，iyin120537.212，从而1.2，7.21.233.6，故所求回归方程为1.2t3.6.

（2）将t6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为1.263.610.8（千亿元）层级一学业水平达标1下列变量具有相关关系的是（）A人的体重与视力B圆心角的大小与所对的圆弧长C收入水平与购买能力D人的年龄与体重解析：

选CB为确定性关系；

A，D不具有相关关系，故选C.2已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为A.1.5x2B.1.5x2C.1.5x2D.1.5x2解析：

选B设回归方程为x，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以0，因此方程可能为1.5x2.3.设（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则以下结论正确的是（）A直线l过点（，）B回归直线必通过散点图中的多个点C直线l的斜率必在（0,1）D当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同解析：

选AA是正确的；

回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B错误；

回归直线的斜率不确定，故C错误；

分布在l两侧的样本点的个数不一定相同，故D错误4一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为192，3246（单位：

吨），船员的人数532人，船员人数y关于吨位x的回归方程为9.50.0062x，

（1）若两艘船的吨位相差1000，求船员平均相差的人数；

（2）估计吨位最大的船和最小的船的船员人数解：

（1）设两艘船的吨位分别为x1，x2，则129.50.0062x1（9.50.0062x2）0.006210006，即船员平均相差6人

（2）当x192时，9.50.006219211，当x3246时，9.50.0062324630.即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30人和11人层级二应试能力达标1一个口袋中有大小不等的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（大于5个），从中取5次，那么取出红球的次数和口袋中红球的数量是（）A确定性关系B相关关系C函数关系D无任何关系解析：

选B每次从袋中取球取出的球是不是红球，除了和红球的个数有关外，还与球的大小等有关系，所以取出红球的次数和口袋中红球的数量是一种相关关系2农民工月工资y（元）依劳动生产率x（千元）变化的回归直线方程为5080x，下列判断正确的是（）A劳动生产率为1000元时，工资为130元B劳动生产率提高1000元时，工资水平提高80元C劳动生产率提高1000元时，工资水平提高130元D当月工资为210元时，劳动生产率为2000元解析：

选B由回归直线方程5080x知，x每增加1，y增加80，但要注意x的单位是千元，y的单位是元3为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：

父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm）175175176177177则y对x的线性回归方程为（）Ayx1Byx1Cy88xDy176解析：

选C计算得，176，176，根据回归直线经过样本中心（，）检验知，C符合4已知x与y之间的几组数据如下表：

x123456y021334假设根据上表数据所得线性回