高中数学变量之间的相关关系两个变量的线性相关1.docx
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高中数学变量之间的相关关系两个变量的线性相关1
2.3变量间的相关关系
2.3.1变量之间的相关关系
2.3.2两个变量的线性相关
【知识提炼】
1.两个变量的线性相关
（1）散点图：
将样本中n个数据点（xi，yi）（i=1，2，…，n）描在平面直角坐标系中得到的图形.
（2）正相关与负相关：
①正相关：
散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域.
②负相关：
散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.
2.回归直线的方程
（1）回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线
附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归
直线.
（2）回归方程：
回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回
归方程.
（3）最小二乘法：
求回归直线方程时，使得样本数据的点到回归直线的
距离的平方和
_____________最小的方法叫做最小二乘法.
_______,
其中，是回归方程的斜率，是回归方程在y轴上的截距.
【即时小测】
1.思考下列问题：
（1）任意两个统计数据是否均可以作出散点图?
提示：
可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为
横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图.
（2）任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗?
提示：
用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据具有线
性相关关系（可利用散点图来判断），否则求出的回归直线方程是无意
义的.
2.下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系（）
A.正方体的棱长和体积
B.圆半径和圆的面积
C.正n边形的边数和内角度数之和
D.人的年龄和身高
【解析】选D.A，B，C都是函数关系.而对于年龄确定的不同的人可以
有不同的身高.
3.下列有关回归方程的叙述正确的是（）
①反映与x之间的函数关系；
②反映y与x之间的函数关系；
③表示与x之间的不确定关系；
④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线.
A.①②B.②③C.③④D.①④
【解析】选D.表示与x之间的函数关系，而不是y与x之间
的函数关系.但它所反映的关系最接近y与x之间的真实关系.
4.设有一个回归方程为=-1.5x+2，则变量x增加一个单位时
（）
A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位
C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位
【解析】选C.因为两个变量线性负相关，所以变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位.
5.如图是两个变量统计数据的散点图，则两个变量之间
相关
关系.（填“有”或“无”）
【解析】不具有相关关系，因为散点图散乱地分布在坐标平面内，不呈线形.
答案：
无
【知识探究】
知识点变量间的相关关系
观察图形，回答下列问题：
俗语说“冬天麦盖三层被，来年枕着馒头睡”，“庄家一枝花，全靠肥当家”.
问题1：
下雪与小麦丰收、肥料与庄家丰收之间有关系吗?
问题2：
若有关系，是函数关系吗?
若不是，则又是什么关系?
【总结提升】
1.两个变量间的分类关系
（1）确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系.
（2）相关关系，不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有
随机性的，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关
系，我们称它们为相关关系.
（3）不相关，即两个变量间没有任何关系.
2.相关关系与函数关系的异同点
（1）相同点：
两者均是指两个变量的关系.
（2）不同点：
①函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系；
②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能
是伴随关系.
【题型探究】
类型一相关关系的判断
【典例】1.下列变量之间的关系不是相关关系的是（）
A.二次函数y=ax2+bx+c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ=b2-4ac
B.光照时间和果树亩产量
C.降雪量和交通事故发生率
D.每亩田施肥量和粮食亩产量
2.有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：
年龄（岁）
1
2
3
4
5
6
身高（cm）
78
87
98
108
115
120
画出散点图，并判断它们是否有相关关系?
如果有相关关系，是正相
关还是负相关?
【解题探究】1.典例1中判断两个变量之间具有相关关系的关键是什
么?
提示：
关键是看它们之间的关系是否带有相关性.
2.典例2中利用散点图判断两个变量是否具有相关关系的依据是什么?
提示：
散点图形象地体现了数据的密切程度，因此可用散点图来判断
两个变量有没有线性关系.
【解析】1.选A.在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ=b2-4ac也
就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，
光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；
施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系.
2.散点图是分析变量相关关系的重要工具.作出散点图如图：
由图可见，具有线性相关关系，且是正相关.
【方法技巧】两个变量x与y相关关系的判断方法
（1）判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就
是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附
近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影
响.
（2）画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或
者使点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.
【变式训练】（2015·全国卷Ⅱ）根据下面给出的2004年至2013年我国
二氧化硫排放量（单位：
万吨）柱形图，以下结论不正确的是
（）
A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】选D.由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下
降趋势，故年排放量与年份负相关.
类型二回归方程的求法
【典例】1.（2014·重庆高考）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方
程可能是（）
A.
=0.4x+2.3B.
=2x-2.4
C.
=-2x+9.5
D.=-0.3x+4.4
2.一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每
小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化，下
表为抽样试验的结果：
转速x（转/秒）
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y（件）
11
9
8
5
（1）画出散点图.
（2）如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性
关系.
（3）在实际生产中，若它们的近似方程为允许每小时生产
的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什
么范围内?
【解题探究】1.典例1中样本中心点（，）与回归直线有什么关系?
提示：
典例1中回归直线必过样本中心点（，），即点（3，3.5）在
回归直线上.
2.从总体上看，典例2中每小时生产的有缺点的零件数随机器转速的
增加是增加还是减少?
提示：
随转速的增加而减少.
【解析】1.选A.依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.
且直线必过点（3，3.5）代入A，B选项得A正确.
2.
（1）散点图如图所示：
（2）近似直线如图所示：
（3）由y≤10得解得x≤14.9，所以机器的运转速度应控
制在14转/秒内.
【延伸探究】
1.（改变问法）典例2（3）中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，
生产有缺点的零件数近似增加多少?
【解析】因为所以当x增加一个单位时，y大约增加.
2.（改变问法）典例2（3）中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件个
数是7，估计机器的转速.
【解析】因为所以当y=7时，解得x≈11.
【方法技巧】求回归直线方程的一般步骤
（1）收集样本数据，设为（xi，yi），（i＝1,2，…，n）（数据一般由题目给出）．
（2）作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
（3）把数据制成表格xi，yi，xiyi.
（4）计算
（5）代入公式计算公式为
（6）写出回归直线方程
【补偿训练】（2015·渭南高一检测）某种木材体积与树木的树龄之间
有如下的对应关系：
树龄
2
3
4
5
6
7
8
体积
30
34
40
60
55
62
70
（1）请作出这些数据的散点图.
（2）你能从散点图中发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗?
【解析】
（1）以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：
（2）由散点图中发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势.所以木材的体积与树龄成线性相关关系.
【延伸探究】
1.（改变问法）若近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种
线性关系.
【解析】近似拟合直线如图所示：
2.（变换条件，改变问法）若该种木材每单位体积的价值是80元，作出
木材的价值与树龄之间关系的散点图.
【解析】木材的价值与树龄之间关系如图所示
树龄
2
3
4
5
6
7
8
体积
30
34
40
60
55
62
70
价值（元）
2400
2720
3200
4800
4400
4960
5600
以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的价值，可得相应的散点图如图
所示：
类型三利用回归方程对总体进行估计
【典例】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录
的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图.
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方
程
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据
（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?
（参考数值：
3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
【解题探究】典例（3）中如何预测能耗比技改前降低多少吨标准煤?
提示：
在题
（2）中求出的回归直线方程中令x=100，即可求出技改后消
耗的量，再求差即可求出能耗比技改前降低的吨数.
【解析】
（1）散点图如图：
（2）
所以
所以所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
（3）当x＝100时，＝0.7×100＋0.35＝70.35（吨标准煤），
90－70.35＝19.65（吨标准煤）．即生产100吨甲产品的生产能耗比技
改前降低了19.65吨标准煤．
【方法技巧】回归分析的三个步骤
（1）判断两个变量是否线性相关：
可利用经验，也可以画散点图.
（2）求回归直线方程，注意运算的准确性.
（3）根据回归直线进行预测：
估计值不是实际值，两者会有一定的误
差.
【变式训练】（2015·重庆高考）随着我国经济的发展，居民的储蓄存
款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y/千亿元
5
6
7
8
10
（1）求y关于t的回归方程
（2）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款.
附：
回归方程中，
【解题指南】
（1）直接利用回归系数公式求解即可.
（2）利用回归方程代入直接进行计算即可.
【解析】
（1）列表计算如下：
i
ti
yi
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
i
ti
yi
tiyi
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n=5,
又
从而
故所求回归方程为=1.2t+3.6.
（2）将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）.
【补偿训练】某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y（元）与
该周每天销售这种服装的件数x（件）之间有一组数据如下表：
每天销售服装
3
4
5
6
7
8
9
件数x/件
该周内所获
66
69
73
81
89
90
91
纯利y/元
（1）求
（2）若纯利y与每天销售这种服装的件数x之间是线性相关的，求回归
方程.
（3）若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这
种服装多少件？
（以下数据供选择：
）
【解析】
（1）
（2）因为
所以纯利与每天销售件数x之间的回归方程为＝51.36＋4.75x.
（3）当＝200时，200＝4.75x＋51.36，所以x≈31.29.
因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件.
易错案例判断两变量之间的关系
【典例】下列关系中是相关关系的有_____.
（1）光照时间与果树的亩产量的关系.
（2）圆柱体积与其底面直径的关系.
（3）自由下落的物体的质量与落地时间的关系.
（4）球的表面积与球的半径之间的关系.
【失误案例】
【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗?
提示：
本题错误的根本原因是对相关关系和函数关系的本质把握不准
.实际上，圆柱的体积除了与底面直径有关，还与圆柱的高有关，是
由这两个量共同决定的，所以圆柱的体积与底面直径之间只有相关关
系.
【自我矫正】
（1）光照时间与果树的亩产量之间的关系是相关关系；
（2）圆柱体积与两个变量相关，一是底面面积，一是高，这里直径决
定了底面面积，而高还是一个可变量，因此在高没有确定的情况下，
圆柱体积与底面直径只具有相关关系，而不是函数关系；（3）自由下
落的物体的质量与落地时间无关，它们不具有相关关系；（4）球的表
面积与球的半径满足S=4πR2，故它具有函数关系.
答案：
（1）
（2）
【防范措施】判断两变量间关系的关键
关键是分清两个变量之间的关系是确定性关系还是非确定性关系，若
是确定的，则是函数关系，若是不确定的，则是相关关系.
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