高考数学大一轮复习第九章平面解析几何92两条直线的位置关系学案理北师大版Word文档格式.docx

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（1）两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离

|P1P2|＝.

（2）点P0（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离

d＝.

（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0（其中C1≠C2）间的距离d＝.

知识拓展

1．直线系方程

（1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）．

（2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0（n∈R）．

2．两直线平行或重合的充要条件

A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：

A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.

3．两直线垂直的充要条件

A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

4．过直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2.

5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件

（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．

（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.（　×

　）

（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.（　×

（3）已知直线l1：

A2x＋B2y＋C2＝0（A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.（　√　）

（4）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为.（　×

（5）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．（　√　）

（6）若点A，B关于直线l：

y＝kx＋b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．（　√　）

题组二　教材改编

2．已知点（a,2）（a>

0）到直线l：

x－y＋3＝0的距离为1，则a等于（　　）

A.B．2－C.－1D.＋1

答案　C

解析　由题意得＝1.

解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>

0，∴a＝－1＋.

3．已知P（－2，m），Q（m,4），且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝.

答案　1

解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，

所以m＝1.

题组三　易错自纠

4．（xx·

郑州调研）直线2x＋（m＋1）y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于（　　）

A．2B．－3C．2或－3D．－2或－3

解析　直线2x＋（m＋1）y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.

5．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是．

答案　

解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，

则两平行线间的距离为d＝＝.

6．若直线（3a＋2）x＋（1－4a）y＋8＝0与（5a－2）x＋（a＋4）y－7＝0垂直，则a＝.

答案　0或1

解析　由两直线垂直的充要条件，得（3a＋2）（5a－2）＋（1－4a）（a＋4）＝0，解得a＝0或a＝1.

题型一　两条直线的位置关系

典例（xx·

青岛模拟）已知两条直线l1：

ax－by＋4＝0和l2：

（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

（1）l1⊥l2，且l1过点（－3，－1）；

（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解　

（1）由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.

若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.

∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.

又∵l1过点（－3，－1），

∴－3a＋4＝0，即a＝（矛盾），

∴此种情况不存在，

∴k2≠0，即k1，k2都存在且不为0.

∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，

∴k1k2＝－1，即（1－a）＝－1.（*）

又∵l1过点（－3，－1），∴－3a＋b＋4＝0.（**）

由（*）（**）联立，解得a＝2，b＝2.

（2）∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，

k1＝k2，即＝1－a，①

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，②

联立①②，解得或

∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

思维升华

（1）当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

（2）在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

跟踪训练已知直线l1：

ax＋2y＋6＝0和直线l2：

x＋（a－1）y＋a2－1＝0.

（1）试判断l1与l2是否平行；

（2）当l1⊥l2时，求a的值．

解　

（1）方法一　当a＝1时，l1：

x＋2y＋6＝0，

l2：

x＝0，l1不平行于l2；

当a＝0时，l1：

y＝－3，

x－y－1＝0，l1不平行于l2；

当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：

y＝－x－3，

y＝x－（a＋1），

l1∥l2⇔解得a＝－1，

综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.

方法二　由A1B2－A2B1＝0，

得a（a－1）－1×

2＝0，

由A1C2－A2C1≠0，

得a（a2－1）－1×

6≠0，

∴l1∥l2⇔

⇔可得a＝－1，

故当a＝－1时，l1∥l2.

（2）方法一　当a＝1时，l1：

x＋2y＋6＝0，l2：

x＝0，

l1与l2不垂直，故a＝1不成立；

y＝－3，l2：

x－y－1＝0，l1不垂直于l2，

故a＝0不成立；

当a≠1且a≠0时，

l1：

y＝－x－3，l2：

由·

＝－1，得a＝.

方法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2（a－1）＝0，

可得a＝.

题型二　两直线的交点与距离问题

1．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是．

解析　方法一　由方程组

解得

（若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行）

∴交点坐标为.

又∵交点位于第一象限，

∴

解得－＜k＜.

方法二　如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A（4,0），B（0,2）．

而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k（x＋2），表示这是一条过定点P（－2,1），斜率为k的动直线．

∵两直线的交点在第一象限，

∴两直线的交点必在线段AB上（不包括端点），

∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.

∵kPA＝－，kPB＝.

∴－＜k＜.

2．若直线l过点P（－1,2）且到点A（2,3）和点B（－4,5）的距离相等，则直线l的方程为．

答案　x＋3y－5＝0或x＝－1

解析　方法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k（x＋1），即kx－y＋k＋2＝0.

由题意知＝，

即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.

∴直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

方法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，

直线l的方程为y－2＝－（x＋1），

即x＋3y－5＝0.

当l过AB的中点时，AB的中点为（－1,4）．

∴直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.

思维升华

（1）求过两直线交点的直线方程的方法

先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

（2）利用距离公式应注意：

①点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；

②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．

题型三　对称问题

命题点1　点关于点中心对称

典例过点P（0,1）作直线l，使它被直线l1：

2x＋y－8＝0和l2：

x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为．

答案　x＋4y－4＝0

解析　设l1与l的交点为A（a,8－2a），则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a,2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，解得a＝4，即点A（4,0）在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

命题点2　点关于直线对称

典例如图，已知A（4,0），B（0,4），从点P（2,0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（　　）

A．3B．6C．2D．2

解析　直线AB的方程为x＋y＝4，点P（2,0）关于直线AB的对称点为D（4,2），关于y轴的对称点为C（－2,0），则光线经过的路程为|CD|＝＝2.

命题点3　直线关于直线的对称问题

典例已知直线l：

2x－3y＋1＝0，求直线m：

3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

解　在直线m上任取一点，如M（2,0），则M（2,0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．

设对称点M′（a，b），则

∴M′.

设直线m与直线l的交点为N，则

由

得N（4,3）．

又∵直线m′经过点N（4,3），

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

思维升华解决对称问题的方法

（1）中心对称

①点P（x，y）关于Q（a，b）的对称点P′（x′，y′）满足

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

（2）轴对称

①点A（a，b）关于直线Ax＋By＋C＝0（B≠0）的对称点A′（m，n），则有

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

跟踪训练已知直线l：

3x－y＋3＝0，求：

（1）点P（4,5）关于l的对称点；

（2）直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；

（3）直线l关于（1,2）的对称直线．

解　

（1）设P（x，y）关于直线l：

3x－y＋3＝0的对称点为P′（x′，y′），∵kPP′·

kl＝－1，即×

3＝－1.①

又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，

∴3×

－＋3＝0.②

由①②得

把x＝4，y＝5代入③④得x