线性代数教案第一章行列式Word下载.docx

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本章的难点：

高阶行列式的计算；

克莱姆法则。

§

1.1二阶与三阶行列式

行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．

设有二元线性方程组

（1）

用加减消元法知，当a11a22–a12a21≠0时，有：

，

（2）

这是一般二元线性方程组的公式解．但公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示

（2）这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号为二阶行列式．

它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：

一个是从左上角到右下角的对角线（又叫行列式的主对角线）上两个元素的乘积，取正号；

另一个是从右上角到左下角的对角线（又叫次对角线）上两个元素的乘积，取负号．

据定义，易知

（2）中的两个分子可分别写成：

，，

记，，，则当D≠0时，方程组

（1）的解

（2）可以表示成：

，，（3）

象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．

首先（3）中分母的行列式是从

（1）式中的系数按其原有的相对位置而排成的．x1的分子是把系数行列式中的第1列换成

（1）的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．

例1用二阶行列式解线性方程组

解：

这时，，，

因此，方程组的解是，，

对于三元一次线性方程组（4）

作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号

（5）

为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：

从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．

例2

令，，，．

当D≠0时，（4）的解可简单地表示成：

，，（6）

它的结构与前面二元一次方程组的解类似．

例3解线性方程组

，，，．

所以，，，．

例4已知，问a，b应满足什么条件？

（其中a，b均为实数）．

，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时行列式等于零．

为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．

思考题：

当a、b为何值时，行列式．

1.2排列

在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识．

定义1由数码1，2，…，n组成一个有序数组称为一个n级排列．

例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：

123，132，213，231，312，321共有3!

=6个．

数字由小到大的n级排列1234…n称为自然序排列．

定义2在一个n级排列i1i2…in中，如果有较大的数it排在较小的数is的前面（is<

it），则称it与is构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N（i1i2…in）．

例如，在4级排列3412中，31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N（3412）=4．同样可计算排列52341的逆序数为N（52341）=7．

容易看出，自然序排列的逆序数为0．

定义3若排列i1i2…in的逆序数N（i1i2…in）是奇数，则称此排列为奇排列，而是偶数的排列称为偶排列．

例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列．自然排列123…n是偶排列．

定义4在一个n级排列i1…is…it…in中，如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1…it…is…in，这样的变换称为一个对换，记作（is，it）．

如在排列3412中，将4与2对换，得到新的排列3214．并且我们看到：

偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214．反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．

一般地，有以下定理：

定理1任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．

定理2在所有的n级排列中（n≥2），奇排列与偶排列的个数相等，各为个．

定理3任一n级排列i1i2…in都可通过一系列对换与n级自然序排列12…n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性．

定理1证明：

首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：

a1a2…alijb1b2…bmc1c2…cn

将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为：

a1a2…aljib1b2…bmc1c2…cn

显然对数a1，a2，…al，b1，b2，…，bm和c1c2…cn来说，并不改变它们的逆序数．但当i<

j时，经过i与j的对换后，排列的逆序数增加1个；

当i>

j时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个．所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性．

再讨论一般情况，设排列为：

a1a2…alib1b2…bmjc1c2…cn

将i与j作一次对换，则排列变为：

a1a2…aljb1b2…bmic1c2…cn

这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，…，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列：

a1a2…alb1b2…bmijc1…cn

然后将数j与它前面的数i，bm…，b1作m+1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i与j（中间有m个数），相当于作2m+1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同．

证明：

设在n!

个n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个．对这p个奇排列施以同一个对换，如都对换（1，2），则由定理1知p个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q个，所以p≤q；

同理将全部的偶排列施以同一对换（1，2），则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有q≤p，所以q=p，即奇排列与偶排列的个数相等．

又由于n级排列共有n!

个，所以q+p=n!

，．

对排列的级数用数学归纳法证之．

对于2级排列，结论显然成立．

假设对n–1级排列，结论成立，现在证明对于n级排列，结论也成立．

若in=n，则根据归纳假设i1i2…in–1是n–1级排列，可经过一系列对换变成12…（n–1），于是这一系列对换就把i1i2…in变成12…n．若in≠n，则先施行in与n的对换，使之变成i1'

i2'

…'

i'

n–1n，这就归结成上面的情形．相仿地，12…n也可经过一系列对换变成i1i2…in，因此结论成立．

因为12…n是偶排列，由定理1可知，当i1i2…in是奇（偶）排列时，必须施行奇（偶）数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i1i2…in具有相同的奇偶性．

1．决定i、j的值，使

（1）1245i6j97为奇排列；

（2）3972i15j4为偶排列．

2．排列n（n–1）（n–2）…321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？

1.3n阶行列式

本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n阶行列式的定义．

已知二阶与三阶行列式分别为

其中元素aij的第一个下标i表示该元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示此元素位于第j列，称为列标．

我们可以从中发现以下规律：

（1）二阶行列式是2！

项的代数和，三阶行列式是3！

项的代数和；

（2）二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；

（3）每一项的符号是：

当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；

为奇排列，则取负号．

作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义．

定义1由排成n行n列的n2个元素aij（i，j=1，2，…，n）组成的符号

称为n阶行列式．它是n!

项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，各项的符号是：

每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；

为奇排列，则取负号．即：

＝

（1）

其中表示对所有的n级排列j1j2…jn求和．

（1）式称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．称为行列式的一般项．

当n=2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§

1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n=1时，一阶行列为|a11|=a11．如

当n=4时，4阶行列式

表示4！

=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！

项．根据n阶行列式的定义，4阶行列式为

例如a14a23a31a42行标排列为1234，元素取自不同的行；

列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N（4312）=5，所以该项取负号，即–a14a23a31a42是上述行列式中的一项．

为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题．

例1在5阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号？

这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514．因N（23514）=4，故该项取正号．

例2写出4阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项．

包含因子a11a23项的一般形式为：

按定义，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的项只能是：

a11a23a32a44或a11a23a34a42

但因N（1324）=1为奇数，N（1342）=2为偶数。

所以此项只能是–a11a23a32a44．

例3计算行列式

解四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!

=24项．但只有以下四项：

adeh，adfg，bceh，bcfg

不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N（1234）=0，N（1243）=1，N（2134）=1和N（2143）=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即

=adeh–adfg–bceh+bcfg

例4计算上三角形行列式，中aii≠０（i=1，2，…，n）．

由n阶行列式的定义，应有n!

项，其一般项为：

但由于D中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D中，第n行元素除ann外，其余均为０．所以jn=n；

在第n–1行中，除an–1n–1和an–1n外，其余元素都是零，因而jn–1只取n–1、n这两个可能，又由于ann、an–1n