届江苏省徐州市铜山中学高三上学期期中考试数学试题Word格式文档下载.docx
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16.如图，在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，且平面，求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面.
17.如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化，其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在直线上，点在圆周上，在边上，且，设.
（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；
（2）求符合园林局要求的的余弦值.
18.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，离心率为，过点的直线与椭圆交于另一点，点为轴上的一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.
19.已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.
（3）是否存在正正数，使成等差数列？
若存在，求出所有满足条件的；
若不存在，请说明理由.
20.已知函数（，是自然对数的底数）.
（1）若函数在区间上是单调减函数，求实数的取值范围；
（2）求函数的极值；
（3）设函数图像上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围.
21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
A．【选修4-1：
几何证明选讲】
如图，是圆的切线，切点为，是过圆心的割线且交圆于点，过作圆的切线交于点，.求证：
.
B.【选修4-2：
矩阵与变换】
已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点，求实数的值.
C.【选修4-4：
坐标系与参数方程】
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数），若直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围.
D．【选修4-5：
不等式选讲】
设均为正数，且，求证：
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.如图，在三棱锥中，两两互相垂直，点分别为棱的中点，在棱上，且满足，已知，.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值.
23.某同学在上学路上要经过三个带有红绿灯的路口，已知他在三个路口遇到红灯的概率依次是，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各个路口是否遇到红灯是相互独立的.
（1）求这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）记这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为随机事件，求的概率分布与期望.
试卷答案
一、填空题
1．2．3．64．5．6．7．48．9．88
10．11．12．13．14．
二、解答题
15．
（1）因为，由正弦定理，得．
因为，所以．
即，
所以．
因为，所以
又因为，所以．
（2）由余弦定理及得，，
即．
又因为，所以，
16.
（1）因为平面，平面，
平面平面，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为为的中点，，所以为的中点．
又因为，所以，
又，，所以．又平面，，
因为平面，所以平面平面．
17．
（1）由题意，，，且为等边三角形，
所以，，
，．
（2）要符合园林局的要求，只要最小，
由
（1）知，，
令，即，
解得或（舍去），
令，，
当时，是单调减函数；
当时，是单调增函数，
所以当时，取得最小值.
答：
符合园林局要求的的余弦值为.
18．
（1）由题意可得：
即
从而有，
所以椭圆的标准方程为：
．
（2）设直线的方程为，代入，
得，
因为为该方程的一个根，解得，
设,由,得：
，
即：
由,即，得，
所以或，
当时，直线的方程为，
当时，代入得，解得，
此时直线的方程为.
综上,直线的方程为，.
19．
（1）当时，，所以．
当时，，，
两式相减得，又，所以，
从而数列为首项，公比的等比数列，
从而数列的通项公式为．
由两边同除以，得，
从而数列为首项，公差的等差数列，所以，
从而数列的通项公式为．
（2）由
（1）得，
于是，
所以，
两式相减得，
由
（1）得，
因为对，都有，即恒成立，
所以恒成立，
记，
所以，
因为，从而数列为递增数列，
所以当时，取最小值，于是．
（3）假设存在正整数，使（）成等差数列，则，
若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立.
若为奇数，设，则，
于是，即，
当时，，此时与矛盾；
当时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.
综上所述，满足条件的不存在．
20．
（1）函数的导函数，
则在区间上恒成立，且等号不恒成立，
又，所以在区间上恒成立，
记，只需,即解得．
经检验，时，是上的单调减函数，
又，所以实数的取值范围是．
（2）由，得，
①当时，有；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在取得极大值，没有极小值．
②当时，有；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在取得极小值，没有极大值．
综上可知:
当时，函数在取得极大值，没有极小值；
当时，函数在取得极小值，没有极大值．
（3）设切点为，
则曲线在点处的切线方程为，
当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在．
当时，令，得切线在轴上的截距为
，
令，，考虑函数，则，
列表如下：
↗
极大值
↘
极小值
所以．
故切线在轴上的截距的取值范围是．
数学Ⅱ（附加题）参考答案
21A．∵是圆的切线，∴，
连结，则，
∵是圆的切线，∴，
又，∴，∴，
则，
而，∴，∴，
由得，代入得，
故．
21B．矩阵，得，
将点代入直线得.
21C．由（为参数），可得直线的普通方程为，
由得，
所以，圆的标准方程为，
因为直线与圆恒有公共点，所以，
又因为，所以，解之得，
所以，实数的取值范围为．
21D．证明：
因为，所以，
因为,
当且仅当时等号成立，所以．
22．
（1）如图，以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系.
依题意可得：
，，，，，，
所以.
因此异面直线与所成角的余弦值为.
（2）平面的一个法向量为.
设为平面的一个法向量，
又，
则即
不妨取，则，
所以为平面的一个法向量，
从而,
设二面角的大小为，则.
因为，所以.
因此二面角的正弦值为.
23．
（1）设这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯为事件，
因为事件等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以.
这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率为.
（2）的所有可能取值为0，40，20，80，60，100，120，140（单位:
秒）.
的分布列是：
；
；
.
徐州市2017-2018学年度高三年级摸底考试
数学I参考答案
15．
（1）因为，由正弦定理，得．·
·
2分
所以．·
4分
因为，所以．·
6分
又因为，所以．·
7分
即．·
10分
又因为，所以，·
12分
所以．·
14分
平面平面，所以．·
3分
因为平面，平面，
所以平面．·
又因为，所以，·
8分
又，，所以．·
又平面，，
因为平面，所以平面平面．·
所
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