高考数学一轮复习知识点与练习导数的应用Word格式.docx

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（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；

若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）若函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f′（x）>

0.（　　）

（2）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性．（　　）

（3）函数的极大值不一定比极小值大．（　　）

（4）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0点为极值点的充要条件．（　　）

（5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．（　　）

1．函数y＝4x2＋的单调增区间为____________．

2．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f

（1）＝3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）<

2（x∈R），则不等式f（x）<

2x＋1的解集为__________．

3．（2015·

广州二模）函数f（x）＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

4．（教材改编）如图是f（x）的导函数f′（x）的图象，则f（x）的极小值点的个数为________．

5．设1<

x<

2，则，（）2，的大小关系是__________________．（用“<

”连接）

课时1　导数与函数的单调性

题型一　不含参数的函数的单调性

例1　求函数f（x）＝的单调区间．

思维升华　确定函数单调区间的步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求f′（x）；

（3）解不等式f′（x）>

0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′（x）<

0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

　已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsinx＋cosx，则f（x）的单调递增区间是_______．

题型二　含参数的函数的单调性

例2已知函数f（x）＝lnx＋ax＋－1.

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（2）当－≤a≤0时，讨论f（x）的单调性．

思维升华　

（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．

（2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．

（3）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f（x）＝x3，f′（x）＝3x2≥0（f′（x）＝0在x＝0时取到），f（x）在R上是增函数．

　讨论函数f（x）＝（a－1）lnx＋ax2＋1的单调性．

题型三　利用函数单调性求参数

例3　设函数f（x）＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1.

（1）求b，c的值；

（2）若a>

0，求函数f（x）的单调区间；

（3）设函数g（x）＝f（x）＋2x，且g（x）在区间（－2，－1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

引申探究　在本例3（3）中，

1．若g（x）在（－2，－1）内为减函数，如何求解？

2．若g（x）的单调减区间为（－2，－1），求a的值．

3．若g（x）在（－2，－1）上不单调，求a的取值范围．

思维升华　已知函数单调性，求参数范围的两个方法

（1）利用集合间的包含关系处理：

y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集．

（2）转化为不等式的恒成立问题：

即“若函数单调递增，则f′（x）≥0；

若函数单调递减，则f′（x）≤0”来求解．

　已知函数f（x）＝exlnx－aex（a∈R）．

（1）若f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值；

（2）若f（x）在（0，＋∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

5．分类讨论思想研究函数的单调性

典例　（14分）已知函数f（x）＝lnx，

g（x）＝f（x）＋ax2＋bx，其中函数g（x）的图象在点（1，g

（1））处的切线平行于x轴．

（1）确定a与b的关系；

（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性．

温馨提醒　

（1）含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：

①方程f′（x）＝0是否有根；

②若f′（x）＝0有根，求出根后是否在定义域内；

③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．

（2）本题求解先分a＝0或a>

0两种情况，再比较和1的大小．

[方法与技巧]

1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′（x）>

0，f′（x）<

0的解区间，并注意定义域．

2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．

3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．

[失误与防范]

1．f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任一非空子区间上f′（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

2．注意两种表述“函数f（x）在（a，b）上为减函数”与“函数f（x）的减区间为（a，b）”的区别．

3．讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点．

A组　专项基础训练

（时间：

40分钟）

1．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是____________．

2．若函数f（x）＝2x3－3mx2＋6x在区间（2，＋∞）上为增函数，则实数m的取值范围为__________．

3．设函数f（x）＝x－2sinx是区间上的减函数，则实数t的取值范围是___________．

4．定义在R上的函数f（x）满足：

f′（x）>

f（x）恒成立，若x1<

x2，则的大小关系为________________．

5．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且当x∈（－∞，1）时，（x－1）f′（x）<

0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为____________．

6．函数f（x）＝x－lnx的单调递减区间为________．

7．已知a≥0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex，若f（x）在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是________．

8．函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝log2的单调递减区间为____________．

9．已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间．

10．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax＋b.

（1）若f（x）与g（x）在x＝1处相切，求g（x）的表达式；

（2）若φ（x）＝－f（x）在[1，＋∞）上是减函数，求实数m的取值范围．

B组　专项能力提升

（时间：

20分钟）

11．设函数f（x）＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是__________．

12．f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<

0时，f′（x）g（x）<

f（x）g′（x），且f（－3）＝0，则<

0的解集为____________．

13．若函数f（x）＝－x3＋x2＋2ax在[，＋∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．

14．已知函数f（x）＝－x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．

15．函数f（x）＝ax3＋3x2＋3x（a≠0）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）在区间（1,2）上是增函数，求a的取值范围．

课时2　导数与函数的极值、最值

题型一　用导数解决函数极值问题

命题点1　根据函数图象判断极值

例1　设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1－x）f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的极大值、极小值分别是________．

命题点2　求函数的极值

例2　（2015·

青岛二模）已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1－（a∈R且a≠0），求函数f（x）的极大值与极小值．

命题点3　已知极值求参数

例3　

（1）已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.

（2）若函数f（x）＝－x2＋x＋1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是____________．

思维升华　

（1）求函数f（x）极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数f′（x）；

③解方程f′（x）＝0，求出函数定义域内的所有根；

④列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f（x）在x0处取极大值，如果左负右正，那么f（x）在x0处取极小值．

（2）若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．

（1）函数y＝2x－的极大值是________．

（2）（2015·

陕西）函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．

题型二　用导数求函数的最值

例4　已知a∈R，函数f（x）＝＋lnx－1.

（2）求f（x）在区间（0，e]上的最小值．

思维升华　求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

（1）求函数在（a，b）内的极值；

（2）求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）；

（3）将函数f（x）的极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

　已知y＝f（x）是奇函数，当x∈（0,2）时，f（x）＝lnx－ax（a>

），当x∈（－2,0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于________．

题型三　函数极值和最值的综合问题

例5　已知函数f（x）＝（a>

0）的导函数y＝f′（x）的两个零点为－3和0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）的极小值为－e3，求f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值．

思维升华　求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．

　设函数f（x）＝ax3－3x＋1（x∈R），若对于任意x∈[－1,1]，都有f（x）≥0成立，则实数a的值为________．

3．利用导数求函数的最值问题

典例　（14分）已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当a>

0时，求函数f（x）在[1,2]上的最小值．

思维点拨　

（1）已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′（x）>

0的解区