人教高中数学选修22课件第1章导数及其应用131Word下载.docx
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•2.求导数/a）・
•3.由几兀）＞0（或/©
）vO）,解岀”相应的兀的范围
・当％0＞0时，比）在相应腳奁间上是
；
当觸＜0时，兀0在相应的区间上是.
•4.结合定义域写岀单调区间.
•利用导数求函数的单调区间注意的问题
•
（1）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
•
（2）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用
连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.
自主练习
•1.函数y=W—3兀的单调减区间是（）
•A.（—°
%0）B.（0,+°
°
）
•C.（—1,1）D・（—°
%-1）,（1,+7
•解析：
y'
=3x2-3,
•由=3x2-3v0得-1<
x<
1,
•・・•函数y二八3兀的单调减区间是（-1,1）・
•答案：
C
2.y=x\nx在（0,5）上的单调性是（）
A.单调递增
B.单调递减
（仃）、、
C.在0，匚上单调递减，在匚，5上单调递增
Ie丿
（（\\
D.在0,匚上单调递增，在「5上单调递减
Ie丿7
Jg析：
函数的定义域为（0，+°
）・
F1
因为=111x+L令>
0，侍x>
y
E1
g'
<
0,得xVg
/i\仃）、、
所以函数y=x\nx在、0,&
上递减，在I，〔上递览.
•3.函数f（Q=（兀一3）7的单调递增区间是
•角军析:
/（%）=（%-3）®
+（%-3）（7）'
=（%-20,令他）>
0,解得x>
2.
（2,+°
•4・证明函数心尸兀+sin兀在R上是增函数.•证明：
/（X）=1+cosX,
•-IScosxSl,.*.0^1+cos兀S2,
•当且仅当cos兀二-1,艮卩兀二（2£
+］）兀伙WZ）时//U）=0.
.*./（%）=x+sin兀在R上是增函数
□□
合作探究课堂互动
导数与单调性的关系
•例如果函数丁=/（兀）的图象如图所示，那么导函数y=/（X）的图象可能是（）
•［思路点拨］由函数y=A兀）的图象可得到函数的单调情况，进而确定导数的正负，再“按图索骥”•
•解析:
由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正-负-正—负,只有选项A满足.
A
法：
•利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多,只需判断导数在该区间内的正负即可.
•2・通过图象研究函数单调性的方法：
•⑴观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势
/
•
（2）观察导函数的图象重在找出导函数图象与兀
4—ir»
I—八丄LI_I1—
变式训综^
•r设禹数心）在定义域内可导，^=»
的图象如图所示，则导函数丁=/（兀）可能为（）
解析：
由函数心）的图象知心）在（-00Z0）
••丁（兀）＞0,故排除A、C.X/W在（0,+8）上有三个单调区间,故排除B,故选D.
D
题型二
求函数的单调区间
•例邸M求下列函数的单调区间：
2
（1）y——2x2+3；
（2）y=ln（2x+3）+x2・
［思路点拨］I求定义域I-尿融
f|解不等式VO和w>
o|f|写单调区间
•”=2x2-4x=2x（x-2）•令）/>
0,贝!
]2x（x-2）>
0,
•解得兀＜0孤＞2.
•所以函数的单调递增区间为（-J0）,（2,+8）•
•令/v0,则2x（x-2）<
0,解得0<
x<
2.
•所以函数的单调递减区间为（02）•
3
⑵函数y=ln（2x+3）+x2的定义域为]一审+°
I24x2+6x+22（2兀+1）（兀+1）
V=2x+3+lx=2x+3=2x+3-
3I
令>
0,解得一㊁VxV—1或x>
~2-
令V0,解得一lVxV—
所以函数的单调递减区间为一1,
\
•⑴求定义域;
•
（2）解不等式f（x）>
0（或怠）<
0）；
•（3）把不等式的解集与定义域求交集得单调区
•特别提醒：
（1）单调区间不能“并”，即不能用“U”符号连接，只能用J”或“和”隔开.
•
（2）导数法求得的单调区间一般用开区间表示
册变式训练）
•2.
（1）求函^f（x）=3x2—21nx的单调区间;
•
（2）设函数/（兀）=111（兀+61）+兀2,若几—i）=o,求。
的值，并讨论/（兀）的单调区间.
（1）函数的定义域为（0,+^）,
令f（x）>
0,即2•技二^>
解得一专<
%<
0或
3%2—1
令f（x）<
0,即2・<
解得x<
—3'
或0<
xv*,
、3
乂Tx>
0,•：
0<
^~.
・•・/«
的单调递增区间为］¥
单调递减区间为0,
⑵f⑴=止+"
依题意，有f（—1）=0,故a=j.
U由d/、2#+3兀+1（2x+l）（x+l）
从而于（兀）一3一a
%+㊁x~^2
（3）
则兀x）的定义域为［―刁+°
z
当一，<
xv—1时，f（x）>
0；
当一1<
¥
—㊁时，f（%）<
0；
当x>
—g时，f（x）>
0.
从而/w在区间［―乞
1
—刍+-上单调递增，在区
Jz丿
例❸《试讨论函数»
=^3-3%2+1-^的单调性.
•［思路点拨］函数解析式中含有参数时，讨论其单调性（或求其单调区间）问题，往往要转化为解含参数的不等式问题，这时应对所含参数进行适当的分类讨论，做到不重不漏,最后要将各种情况分别进行表述.
a）
2
（1）当a>
0时，->
若XW（—OO,0）时，则f（x）>
0,所以在（-OO,0）上是增函数；
（2）
（2）
若0,-,则f（%）<
0,所以沧）在0,匚上是减函数；
\u丿\u丿
（2}（2}
若+oo,则f（%）>
0,所以几¥
）在匚，+°
上是增
丿\Cl丿
函数.
（2）当xO时，—vO
22
若用—°
-,则f（x）＜0,所以心）在一-上是减
\a丿\a丿
函数;
o］,贝护⑴＞0,所以/⑴在［I，o］上是增函数;
丿W丿
10分
若XG（O，+oo）,贝护（%）＜0,所以您0在（0，+oo）上是减
综上讨论可知：
当d>
o时，函数/（X）在（―°
0）上是增函数；
（2）（2}
在0,方上是减函数，在力+°
上是增函数;
（2、
当x0时，函数沧）在一°
，；
上是减函数；
（2）、
12分
在70上是增函数，在（0，+°
）上是减函数.
丿
通常归结为求含参不等式的解集问题,而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
❶变式训练〕
3.已知函数f（x）=^x2-[-a\nx（a^R,aHO）,求几兀）的单调区间.
由于f（x）=^x2-[-a\nx,所以f（x）=^+|.
（1）当a>
0时，函数的定义域是（0,+s）,于是有f（x）=x+¥
•A
所以函数只有单调递增区间（0，+-）.
（2）当ovO时，函数的定义域是（0，4-oo）,
由f（%）=%+->
0,得x>
\j—a；
由f（%）=%+-<
0,得0<
rv寸_a・
所以当avO时，函数的单调递增区间是（尸，+-）,单调递减区间是（0,\j~a）•
综上所述：
当a>
0时，几劝只有单调递增区间（0，+°
）；
当«
00^,»
的单调递增区间是（\戸，+-）,单调递减区间是（0,
•例若函=ax3—x2+x—5在R上单调递增，求实数。
的取值范围.
［思路点拨］|对函数求导|『（劝三0恒成立］判别或
I实数。
的取值范围I
解：
若/（x）=ax3~x2-\-x—5在R上单调递增,
则f（x）=3ax2-2x~bl^0在R上恒成立，对于3处2—2兀+1=0,
△=4—4X3°
W0，
开口向上，则°
0，
如何求参数的取值范围?
函数在区间s切上单调递增（减）
f（x）20（f（x）<
0）f在区间S切上
恒成立
利用分离参数法—-或函数性质求解恒成立问题
对等号单独验证
•2.注意事项：
•—般地,最后要检验参数的取值能否使心）恒等于0.奇（兀）恒等于0,则参数的这个值应舍去；
若只有在个别点处有心）二0,则由几OR（或/G）SO）恒成立解出的参数取值范围为最后解・
•4.已知函数/（兀）=2ax~x3,xG（O,l］,d>
0,若您0在（0,1］上是增函数，求d的取值范围.
由题意知fa）=2a—3/,且方程fa）=o的根
为有限个，则沧）在（0,1］上为增函数等价于f（x）=2a—3/20
一3一（3）
对xe（o,l］恒成立•即°
三|^对％$©
1］恒成立，只需q$［|x2Jmax即可.由兀丘（0,1］得討切0,㊁，从而Q三］所以Q的取值范围为|,+°
.
误区警示
•◎已知函数/S）=ln（l+兀）一兀，求几兀）的单调区间•1r
【错解】f⑴二币-1=币・
由f⑴>
0,得一l<
0,所以几劝的单调递增区间为（一
1,0）；
由f⑴v0,得Q0或XV—1,所以几r）的单调递减区间为
（0,+oo）U（-oo,-1）.
•【错因】错解的原因是忽视了函数的定义播・本题中含肴对薮函数/首先应确定函数的定义域z再耒导舸（兀）Z进而判断单调区间
【正解】因为»
=lnd+.）-x,所以函数的定义域为（一
1._Z2L
1，且f⑴二占=
由f（x）>
0，得一1ovO，所以»
的单调递增区间为（—1;
由fW<
0,得QO,所以妙的单调递减区间为（°
，+6
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