高中物理竞赛解题方法七对称法Word格式.docx

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因为抛出点到落地点的距离为3s，抛出点的高度为h

代入后可解得：

例2：

如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A和

B，间距为d，一个小球以初速度从两墙正中间的O点斜向上抛

出，与A和B各发生一次碰撞后正好落回抛出点O，求小球的抛

射角.

解析：

小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成，若按顺

序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜，将球与墙的弹性碰撞等

效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解.

物体跟墙A碰撞前后的运动相当于从O′点开始的斜上抛运动，与B墙碰后落于O点相当于落到O″点，其中O、O′关于A墙对称，O、O″对于B墙对称，如图7—2—甲所示，于是有

代入可解得

例3：

A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？

以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂

的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点，

在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕

点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向

中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可.

由题意作图7—3，设顶点到中心的距离为s，则由已知条

件得

由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为

由此可知三角形收缩到中心的时间为

此题也可以用递推法求解，读者可自己试解.

例4：

如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽，

质量为m，内外半径几乎同为R.槽内A、B两处分别放

有一个质量也为m的小球，AB间的距离为槽的直径.不

计一切摩擦.现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，

两小球具有垂直于AB方向的速度，试求两小球第一次

相距R时，槽中心的速度.

在水平面参考系中建立水平方向的x轴和y轴.

由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x轴方向上

运动。

设槽中心沿x轴正方向运动的速度变为，两小球

相对槽心做角速度大小为的圆周运动，A球处于如图

7—4—甲所示的位置时，相对水平面的两个分速度为

①

②

B球的运动与A球的运动是对称的.

因系统在x轴方向上动量守恒、机械能也守恒，因此

③

④

将①、②式代入③、④式得：

由此解得

当两球间距离为R时，，代入可解得槽中心运动的速度为

例5：

用一轻质弹簧把两块质量各为M和m的木板连接起来，

放在水平上，如图7—5所示，问必须在上面木板上施加多大的压

力F，才能使撤去此力后，上板跳起来恰好使下板离地？

此题可用能量守恒的观点求解，但过程较繁，而用弹簧

形变的“对称性”求解就显得简洁明了.

若用拉力F作用在m上，欲使M离地，拉力F至少应为

F=（M+m）g

根据弹簧的拉伸和压缩过程具有的对称性，故要产生上述效果，

作用在m上的向下的压力应为F=（M+m）g

例6：

如图7—6所示，长为l的两块相同的均匀长方形砖块A

和B叠放在一起，A砖相对于B砖伸出l/5,B砖放在水平桌面上，砖

的端面与桌面平行.为保持两砖不翻倒，B砖伸出桌面的最大长度是

多少？

此题可用力矩平衡求解，但用对称法求解，会直观简洁.

把A砖右端伸出B端的l/5截去，补在B砖的右端，则变成图

7—6—甲所示的对称形状.伸出最多时对称轴应恰好通过桌边.

所以：

解得B砖右端伸出桌面的最大长度为.

例7：

如图7—7所示，OABC是一张水平放置的桌球台面.取OA为x轴，OC为y轴，P是红球，坐标为（x，y），Q是白球，坐标为（，）（图中未画出Q球在台面上的位置）.已知OA=BC=25dm，AB=OC=12dm.

若P球的坐标为：

处，问Q球的位置在什么

范围内时，可使击出的Q球顺次与AB、BC、CO和OA四壁碰撞反

弹，最后击中P球？

由于弹性碰撞反弹服从的规律与光线的反射定律相同，所

以作P点对OA壁的镜像P1，P1对CO壁的镜像P2，P2对BC壁的镜像P3和P3对AB壁的镜像P4，则只需瞄准P4点击出Q球，Q球在AB壁上D点反弹后射向P3，又在BC壁上E点反弹后射向P2，依次类推，最后再经F，G二点的反弹击中P点，如图7—7—甲所示.

但是，若反弹点E离B点太近，Q球从E点反

弹后EP2线与CO的交点，可能不在CO壁的范围内

而在CO的延长线上，这时Q球就无法击中CO壁

（而击到OA壁上），不符合题目要求，所以，Q球能

够最后按题目要求击中P球的条件是：

反弹点D、E、

F、和G一定要在相应的台壁范围之内.

已知P点的坐标为（10，8），由此可知，各个镜

像点的坐标分别为

P1（10，－8），P2（－10，－8），P3（－10，32），P4（60，32）

设Q点的坐标为；

直线QP4的方程为

①

D点在此直线上，，由上式得：

②

直线DP3的方程为

③

E点在此直线上，YE=12，由此式及②式得

④

直线EP2的方程为

F点在此直线上，

最后，直线FP1的方程为⑤

G点在此直线上，YG=0，所以⑥

反弹点位于相应台壁上的条件为⑦

将③、④、⑤和⑥式代入⑦，除肯定满足无需讨论的不等式外，Q球按题目要求击中P球的条件成为

上面共两个条件，作直线及

如图7—7—乙所示，若Q球位于下方的三角形D0AH0

内，即可同时满足⑧、⑨两式的条件，瞄准P4击出，可

按题目要求次序反弹后击中P球，三角形D0AH0三个顶

点的坐标如图7—7—乙所示.

例8：

一无限长均匀带电细线弯成如图7—8所示

的平面图形，其中AB是半径为R的半圆孤，AA′平行于

BB′，试求圆心O处的电场强度.

如图7—8—甲所示，左上1/4圆弧内的线元△L1

与右下直线上的线元△L3具有角元△对称关系.△L1电荷

与△L3电荷在O点的场强△E1与△E3方向相反，若它们的大

小也相等，则左上与右下线元电场强度成对抵消，可得圆心

处场强为零.

设电荷线密度为常量，因△很小，△L1电荷与△L3电

荷可看做点电荷，其带电量

当

又因为

与△E1的大小相同，且△E1与△E2方向相反，所以圆心O处的电场强度为零.

例9：

如图7—9所示，半径为R的半圆形绝缘线上、

下1/4圆弧上分别均匀带电+q和－q，求圆心处的场强.

因圆弧均匀带电，在圆弧上任取一个微小线元，

由于带电线元很小，可以看成点电荷.用点电荷场强公式表

示它在圆心处的分场强，再应用叠加原理计算出合场强.由

对称性分别求出合场强的方向再求出其值.

在带正电的圆孤上取一微小线元，由于圆弧均匀带电，因而线密度.

在带负电的圆弧上必定存在着一个与之对称的线元，两者产生

的场强如图7—9—甲所示.显然，两者大小相等，其方向分别与x

轴的正、负方向成角，且在x轴方向上分量相等.由于很小，可以认

为是点电荷，两线元在O点的场强为

方向沿y轴的负方向，所以O点的合场强应对△E求和.

即.

例10：

电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R，

CD为通过半球顶点C与球心O的轴线，如图7—10所示，P、Q

为CD轴线上在O点两侧，离O点距离相等的两点，已知P点的

电势为UP，试求Q点的电势UQ.

可以设想一个均匀带电、带电量也是q的右半球，与题

中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面，根据对称性来解.

由对称性可知，右半球在P点的电势等于左半球在Q点的电势UQ.

即正是两个半球在P点的电势，因为球面均匀带电，所以由此解得Q点的电势.

例11：

如图7—11所示，三根等长的细绝缘棒连接成等边三

角形，A点为三角形的内心，B点与三角形共面且与A相对ac棒

对称，三棒带有均匀分布的电荷，此时测得A、B两点的电势各为

UA、UB，现将ac棒取走，而ab、bc棒的电荷分布不变，求这时A、

B两点的电势、.

ab、bc、ac三根棒中的电荷对称分布，各自对A点电势的贡献相同，ac棒对B点电势的贡献和对A点电势的贡献相同，而ab、bc棒对B点电势的贡献也相同.

设ab、bc、ac棒各自在A点的电势为U1，ab、bc棒在B点的电势为U2.由对称性知，ac棒在B点的电势为U1.

由电势叠加原理得：

3U1=UA①

U1+2U2=UB②

由①、②两式得U1=UA/3

将ac棒取走后，A、B两点的电势分别为

例12：

如图7—12所示为一块很大的接地导体板，在与

导体板相距为d的A处放有带电量为－q的点电荷.

（1）试求板上感应电荷在导体内P点产生的电场强度；

（2）试求感应电荷在导体外P′点产生的电场强度（P

与P′点对导体板右表面是对称的）；

（3）在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度

的方向与导体表面垂直；

（4）试求导体上的感应电荷对点电荷－q的作用力；

（5）若在切断导体板与地的连线后，再将+Q电荷置于导体板上，试说明这部分电荷在导体板上如何分布可达到静电平衡（略去边缘效应）.

在讨论一个点电荷受到面电荷（如导体表面的感应电荷）的作用时，根据“镜像法”可以设想一个“像电荷”，并使它的电场可以代替面电荷的电场，从而把问题大大简化.

（1）导体板静电平衡后有E感=E点,且方向相反，因此板上感应电荷在导体内P点产生的场强为，

r为AP间距离，方向沿AP，如图7—12甲所示.

（2）因为导体接地，感应电荷分布在右表面，感应电荷在

P点和P′点的电场具有对称性，因此有，方向如图

7—12—甲所示.

（3）考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点P1和.如

前述分析，在导体外点感应电荷产生的场强大小为.

点电荷在点产生的场强大小也是.方向如图7—12

—乙.从图看出，点的场强为上述两个场强的矢量和，即与导体表面垂直.

（4）重复

（2）的分析可知，感应电荷在－q所在处A点的场强为，方向垂直于导体板指向右方，该场作用于点电荷－q的电场力为，负号表示力的方向垂直于导体板指向左方.