角平分线性质辅导资料含答案Word格式文档下载.docx

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角平分线判定定理：

到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．

如果有CB=BD，则有AB是∠CAD的平分线。

点击三:

三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这个点到三角形三边的距离相等．

在三角形ABC中，AD是∠BAC，BE是∠ABC的角平分线，则有IH=IG=IF。

类型之一:

求证角平分线的性质定理

例1：

三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？

【解析】我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．

【答案】已知：

如图，△ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：

点I在∠ACB的平分线上．

证明：

过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．

∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC

∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）

同理IH=IF∴IG=IF（等量代换）

又IG⊥AC、IF⊥BC

∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）

即：

三角形的三条角平分线交于一点．

类型之二:

利用角平分线的性质求线段之比

例2：

如图，已知：

∠BAC=30，G为∠BAC的平分线上的一点，若EG∥AC交AB于E，GD⊥AC于D，GD：

GE=（）

【解析】作GF⊥AB于F（目的是为了用定理）

∵AG平分∠BAC，GD⊥AC

∴GF=GD（角平分线的性质定理）

∵EG∥AC，∠BAC=300

∴∠FEG=300

∴FG：

EG=1：

2

∴GD：

GE=1：

【答案】1：

类型之三:

利用角平分线的性质求角的度数

例3：

在△ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20。

求∠CED的度数。

【解析】此题是考查利用角平分线的性质求角的度数。

【答案】作EF⊥AC，延长CB，作EG⊥CB

EH⊥BD

∵CE平分∠ACB，∠ACB=200，

∴∠BCE=∠DCE=100，

∵∠CBD=200

∴∠BDA=400

∵∠ABC=1000，∠CBD=200

∴∠ABG=800，∠ABD=800

∴∠ABG=∠ABD

∴EH=EG

可证△BEH≌△BEG（AAS）

∵CE平分∠ACB，

∴EF=EG（角平分线性质定理）

∴EF=EH

∴DE平分∠BDA（角平分线的判定定理）

∴∠EDA=200

∵∠EDA=∠ECA+∠CED

∴∠CED=200-100=100

1.如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（）．

A．AD=CPB．△ABP≌△CBP

C．△ABD≌△CBDD．∠ADB=∠CDB．

【解析】通过角平分线上的性质的运用推得△ABP≌△CBP,△ABD≌△CBD,∠ADB=∠CDB三项成立,A项不成立,能推出AD=DC,也能推得AP=PC。

【答案】A

2.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（）

A.∠1＝∠2　　　B.∠1＞∠2　　　　C.∠1＜∠2　　　　　D.无法确定

【解析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，PA＝PB，由角平分线的判定可知∠1＝∠2．

3．△ABC中，∠C＝90°

，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（）

A、12cm　　　　B、10cm　　　　　C、14cm　　　　D、11cm

【解析】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°

，易得△ACD≌△AED，

∴CD＝DE，AE＝AC，∴△DBE的周长＝DE＋EB＋DE＝CD＋DB＋EB＝BC＋EB＝AC＋EB＝AE＋EB＝AB＝12cm．

1.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=5cm,则点D到AC的距离是_____.

【解析】角平分线上的一点到角的两边距离相等即可得到D到AC的距离是5.

【答案】5

2．如图，已知D为△ABC的BC边的中点，DE、DF分别平分∠ADB和∠ADC，

求证：

BE＋CF>

EF.

【解析】在DA上取一点M，使DM=DB=DC，连结EM、MF，实质上是将△DBE及△DFC分别沿DE、DF翻折180°

得到△DEM及△MFD，从而使问题得到解决的.

【答案】在DA上取一点M，使DM=DB=DC，连结EM、MF，

∵DE平分∠ADB，∴∠BDE=∠EDM.

又∵DM=BD，DE=DE，∴△BED≌△MED.

同理可得△MFD≌△CFD.

∴BE=EM，CF=MF.

∵在△EMF中，EM＋MF>

∴BE＋CF>

EF.

1.（角平分线性质与方程的结合解题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，∠ACB=78°

，∠BAD=∠ABD，求∠ADB和∠BCE的度数.

【解析】要求∠ADB及∠BCE度数，依条件知∠DBC=∠DBA=∠DAB.采用“间接设元”比“直接设元”更有利于沟通各已知量之间的关系，所以设∠DBA为x.设元后，再用三角形内角和定理作为等量关系列出方程.

【答案】解：

在△ABC中，∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠DBA.

又∵∠DBA=∠DAB，设∠DBA=x，那么∠DBC=∠DAB=x.

又∠ACB=78°

，∵∠DAB＋∠ABC＋∠ACB=180°

，

∴x＋2x＋78°

=180°

，解得x=34°

.

故在△ADB中，∠ADB=180°

－∠DAB－∠DBA=180°

－2x=112°

.

在△BCE中，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°

∴∠BCE=180°

－∠CBE－∠CEB=180°

－2x－90°

=22°

故∠ADB=112°

，∠BCE=22°

课时作业：

A等级

1．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，则点D到AC的距离是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

2．如图，已知CE、CF分别是△ABC的内角和外角平分线，则图中与∠BCE互余的角有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：

①点P在∠BAC的平分线上；

②点P在∠CBE的平分线上；

③点P在∠BCD的平分线上；

④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③C.④D.②③

4．下列说法：

①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；

②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；

③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；

④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．角的平分线上的点到_____________相等；

到____________相等的点在这个角的平分线上．

6．如图，△ABC中，AC⊥CB，CD平分∠ACB，点E在AC上，且CE=CB，则下列结论：

①CD平分∠BDE；

②BD=DE；

③∠B=∠CED；

④∠A+∠CED=90°

．其中正确的有（）

7．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则M到OB的距离为　　　㎝。

8．在△ABC中，∠C＝90°

，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，则点D到AB的距离为　　　　　。

9．如图,∠A＝90°

BD是△ABC的角平分线,AC＝8㎝,DC＝3DA,则点D到BC的距离为　。

10．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）

A、PD＝PE　　B、OD＝OE　　C、∠DPO＝∠EPO　　D、PD＝OD

B等级

11．如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°

，则下列结论：

①∠3=∠4；

②∠1=∠2；

③∠5=∠6；

④AC垂直且平分BD，其中正确的有（）

A．①②③④B．①②③C．①③D．①③④

12．如图，三条公路两两交于点A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（）

A．一处B．二处C．三处D．四处

13．△ABC中，∠C=90°

，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：

CD=3：

2，BC=15cm，则点D到AB的距离是__________．

14．如图，已知点D是△ABC中AC边一点，点E在AB延长线上，且△ABC≌△DBE，∠BDA=∠A．若∠A：

∠C=5：

3，则∠DBE的度数是（）

A．100°

B．80°

C．60°

D．120°

15．如图，已知△ABC中，∠C=90°

，E是AB的中点，D在∠B的平分线上，且DE⊥AB，则（）

A.BD＜AEB.BC=AEC.BC＜AED.以上都不对

16．如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°

②∠1=∠2；

A.①②③④B.①②③C.①③D.①③④

17．已知：

如图⑷，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段（只需写出一组即可）.

18．如图，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，则AB与CD之间的距离是___________．

19．用直尺和圆规平分已知角的依据是______________．

20．到三角形三边的距离相等的点是三角形（）

A．三条边上的高的交点B．三个内角平分线的交点

C．三边上的中线的交点D．以上结论都不对

C等级

21．如图△ABC中,∠C＝90°

AC＝BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6㎝,则△DEB的周长为（　　）

A、4㎝　　B、6㎝　　C、10㎝　　D、不