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1、 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上如果有CB=BD ，则有AB是CAD的平分线。点击三: 三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这个点到三角形三边的距离相等在三角形ABC中，AD是BAC，BE是ABC的角平分线，则有IH=IG=IF。类型之一:求证角平分线的性质定理例1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？【解析】我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点【答案】已知：如图，ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在ACB的平分线上 证明：过点I作IHAB、IGAC、IFBC，垂足分别是点H、G

2、、F 点I在BAC的角平分线AD上，且IHAB、IGAC IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF IG=IF（等量代换） 又IGAC、IFBC 点I在ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上） 即：三角形的三条角平分线交于一点类型之二:利用角平分线的性质求线段之比例2：如图，已知：BAC=30，G为BAC的平分线上的一点，若EG AC交AB于E，GD AC 于D，GD：GE=（ ）【解析】作GFAB于F（目的是为了用定理）AG平分BAC，GD AC GF=GD（角平分线的性质定理） EG AC ，BAC=300FEG=300FG：EG=1：2

3、GD：GE=1：【答案】1：类型之三: 利用角平分线的性质求角的度数例3：在ABC中，ABC=100，ACB=20，CE 平分ACB交 AB于 E，D在 AC上，且CBD=20。求CED的度数。【解析】此题是考查利用角平分线的性质求角的度数。【答案】作EF AC，延长CB，作EG CB EH BD CE平分ACB，ACB=200，BCE=DCE=100，CBD=200 BDA=40 0 ABC=1000， CBD=200 ABG=800，ABD=800 ABG=ABD EH=EG 可证BEH BEG（AAS）CE平分ACB，EF=EG（角平分线性质定理）EF=EHDE平分 BDA（角平分线的判

4、定定理）EDA=200EDA=ECA+CEDCED=200 -100=100 1. 如图，已知点D是ABC的平分线上一点，点P在BD上，PAAB，PCBC，垂足分别为A，C下列结论错误的是（ ）AAD=CP BABPCBP CABDCBD DADB=CDB【解析】通过角平分线上的性质的运用推得ABPCBP ,ABDCBD ,ADB=CDB三项成立,A项不成立,能推出AD=DC,也能推得AP=PC。【答案】A2. 如图所示，ADOB，BCOA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PAPB，则1与2的大小是（）A.12 B.12C.12D.无法确定【解析】ADOB，BCOA，PAPB，由角平

5、分线的判定可知123ABC中，C90，ACBC，AD是BAC的平分线，DEAB，垂足为E，若AB12cm，则DBE的周长为（）A、12cmB、10cmC、14cmD、11cm【解析】AD是BAC的平分线，DEAB，C90，易得ACDAED，CDDE，AEAC，DBE的周长DEEBDECDDBEBBCEBACEBAEEBAB12cm1. 已知AD是ABC的角平分线，DEAB于E,且DE=5cm,则点D到AC的距离是_.【解析】角平分线上的一点到角的两边距离相等即可得到D到AC的距离是5.【答案】52如图，已知D为ABC的BC边的中点，DE、DF分别平分ADB和ADC，求证：BECFEF. 【解析

6、】在 DA 上取一点 M ，使 DM=DB=DC ，连结 EM 、 MF ，实质上是将DBE 及DFC 分别沿 DE 、 DF 翻折 180 得到DEM 及MFD ，从而使问题得到解决的 . 【答案】 在 DA 上取一点 M ，使 DM=DB=DC ，连结 EM 、 MF ， DE 平分ADB ， BDE= EDM. 又 DM=BD ， DE=DE ， BED MED. 同理可得MFD CFD. BE=EM ， CF=MF. 在EMF 中， EMMF BECFEF.1.（角平分线性质与方程的结合解题） 如图，在ABC中，BD平分ABC，CEAB于E，ACB=78，BAD=ABD，求ADB和BC

7、E的度数.【解析】要求ADB 及BCE 度数，依条件知DBC= DBA= DAB. 采用“间接设元”比“直接设元”更有利于沟通各已知量之间的关系， 所以设DBA 为 x. 设元后，再用三角形内角和定理作为等量关系列出方程 . 【答案】解：在ABC 中， BD 平分ABC ， DBC= DBA. 又DBA= DAB ，设DBA=x ，那么DBC= DAB=x. 又ACB=78， DABABCACB=180， x2x78 =180，解得 x=34. 故在ADB 中，ADB=180DABDBA=1802x=112 . 在BCE 中， CEAB ， CEB=90 BCE=180CBECEB=1802x

8、90 =22故ADB=112，BCE=22课时作业：A等级1已知AD是ABC的角平分线，DEAB于E，且DE=3cm，则点D到AC的距离是（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm2如图，已知CE、CF分别是ABC的内角和外角平分线，则图中与BCE互余的角有（ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个3如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：点P在BAC的平分线上；点P在CBE的平分线上；点P在BCD的平分线上；点P是BAC、CBE、BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ）A. B. C. D.4下列说法：角的内部任意一点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点

9、在这个角的平分线上；角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；ABC中BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A1个 B2个 C3个 D4个5角的平分线上的点到_相等；到_相等的点在这个角的平分线上6如图，ABC中，ACCB，CD平分ACB，点E在AC上，且CE=CB，则下列结论：CD平分BDE；BD=DE；B=CED；A+CED=90其中正确的有（ ）7AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5，则M到OB的距离为。8在ABC中，C90，AD是BAC的角平分线，若BC5，BD3，则点D到AB的距离为。9如图,A90,BD是ABC的角平分线,AC8,DC3DA,则

10、点D到BC的距离为。10如图，12，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PDPEB、ODOEC、DPOEPOD、PDODB等级11如图，AB=AD，ABC=ADC=90，则下列结论：3=4；1=2；5=6；AC垂直且平分BD，其中正确的有（ ）A B C D12如图，三条公路两两交于点A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（ ）A一处 B二处 C三处 D四处13ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，则点D到AB的距离是_14如图，已知点D是ABC中AC边一点，点E在AB延长线上，且AB

11、CDBE，BDA=A若A：C=5：3，则DBE的度数是（ ）A100 B80 C60 D12015如图，已知ABC中，C=90，E是AB的中点，D在B的平分线上，且DEAB，则（ ） A.BDAE B.BC=AE C.BCAE D.以上都不对16如图，AB=AD，ABC=ADC=901=2；A. B. C. D.17已知：如图，P是AOB的平分线上的一点，PCOA于C，PDOB于D，写出图中一组相等的线段 （只需写出一组即可）.18如图，ABCD，AP、CP分别平分BAC和ACD，PEAC于E，且PE=2cm，则AB与CD之间的距离是_19用直尺和圆规平分已知角的依据是_20到三角形三边的距离相等的点是三角形（ ） A三条边上的高的交点 B三个内角平分线的交点 C三边上的中线的交点 D以上结论都不对C等级21如图ABC中,C90,ACBC,AD平分CAB交BC于D,DEAB于E,且AB6,则DEB的周长为（）A、4B、6C、10D、不