三角函数在实际生活中的应用.docx

三角函数在实际生活中的应用.docx

《三角函数在实际生活中的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数在实际生活中的应用.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

三角函数在实际生活中的应用

第三章三角函数在实际生活中的应用

三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。

三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。

它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。

在物理学中，三角函数也是常用的工具。

在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。

因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。

停车场设计问题

如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在上的长方形停车场，求长方形停车场面积的最大值和最小值。

分析：

矩形的面积显然跟的位置有关，连，延长若直接设，则,在中，，从而得，）·x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值比较复杂。

不妨以角为变量建立函数关系。

解：

如上添加辅助线，设，则,，设，则。

代入化简得故当时，；当时，（m2）

通讯电缆铺设问题

如图，一条河宽km，两岸各有一座城市的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连与，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？

分析：

设电缆为时费用最少，因为河宽为定值，为了表示的长，不妨设

解：

设，则,

∴总费用为=

问题转化为求的最小值及相应的θ值，而表示点与点斜率的－2倍，有图可得在单位圆周上运动，当直线与圆弧切于点时，u取到最小值。

此时，∴，。

即水下电缆应从距B城（－）km处向城铺设，图三因此此时总费用达最小值2+2（万元）。

注：

本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。

探索与思考：

1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？

2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？

食品包装问题

某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。

设计时要求同时满足如下条件：

（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；

（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。

问：

这些条件能同时满足吗？

如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？

此时所用的外包装用料是多少？

体积是多少？

若不能，请说明理由。

分析：

要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。

解：

如图，设，则，下底面半径,母线长，高则（+1）=;

=

∴当且仅当,即时，能使和同时取到最小值，此时，即当圆锥的下底面半径和高分别为、2时能同时满足条件，外包装用料是，体积是。

营救区域规划问题

如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。

如何去营救，用图示表示营救的区域。

分析：

1.要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；2.题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。

解：

以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：

设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。

则,令点Q的坐标为，

则

∴∵机艇中途东拐，∴…………①

又∵

满足不等式组①和②的点所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。

探索与思考：

1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？

2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？

足球射门问题

在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线的直线助攻到前场（如图，设球门宽米，球门柱到的距离米），那么你推进到距底线多少米时，为射门的最佳位置？

（即射门角最大时为射门的最佳位置）？

请你帮助左前锋回答上述问题。

分析：

本题中要求射门的最佳位置，题目中已对题意进行了明确，即只要当射门角最大时为最佳位置。

所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。

若直接在非特殊中利用边来求的最值，显得比较繁琐，注意到，而后两者都在中，故可应用直角三角形的性质求解。

解：

如图，设，,,=。

若令，则=，当,即时，取到最小值，从而可知时，取得最大值，即时，有最大值。

故当点距底线为米时，为射门的最佳位置。

依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。

点评：

本例一开始也可直接建立余弦函数模型。

另外，模拟汉书中的少数点有误差是允许的。

最值问题

三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。

因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。

这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。

如图，，其中是一半径为的扇形小山，其余部分都是平地。

一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点在弧上，相邻两边落在正方形的边上，求矩形停车场面积的最大值和最小值。

解：

设,,延长，

易得，，

从而

令，，

则，故当时，有最小值；当时，有最大值

[思维点拔]引进变量建立面积函数后，问题转化为求解三角函数的最值问题.

一条河宽1km，两岸各有一座城镇和的直线距离是4km，仅需在间铺设一条电缆。

已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是2万元/km。

假设河的两岸呈平行线状，那么如何铺设电缆方可使总是费用达到最少？

A

图九

解：

如图所示，设过点作对岸的垂线，垂足为,若从到的线路铺设电缆，虽然最短，但陆上线路太长并不合算。

设在之间取一点,则,依题意知总施工费用y（万元）的函数关系式为

令，则

有

（1）

即先从镇沿河岸铺设地下电缆至距离镇km,处的点,再从点向镇铺设水下电缆，可使得总施工费用最少，约为11.2万元。

把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？

分析：

如图所示：

设，则

当且仅当时，即时，

所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。

生活中的实际问题：

在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。

（让学生探究解决）

在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样三种情况：

（1）是半径为10米的半圆；

（2）是半径为10米，圆心角为的扇形；

（3）是半径为10米，圆心角为的扇形；

现要在这块空地里种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计，使得此草皮面积最大？

并求出面积的最大值。

分析1：

第一种情况，如图所示：

连结，

设，则，，

这时

此时，点A、D分别位于点O的左右方处时S取得最大值100。

分析2：

第二种情况，连结OC，

设，则，，

当且仅当时，即时，

分析3：

如图所示：

连结

设，则，，

当且仅当时，即时，

学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。

试试身手：

（看谁做得快又准确）

下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）

日期

1月1日

2月28

日

3月21

日

4月27

日

5月6

日

6月21

日

8月13

日

9月20

日

10月25日

12月21日

日期位置序号x

1

59

80

117

126

172

225

263

298

355

白昼时间y（小时）

5.6

（I）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；

（Ⅱ）试选用一个形如的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.[注：

①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算]

（Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.

解：

（I）画散点图见下面.

（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为

，

由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，

即，

由19.4－5.4=14，得A=7；

由19，得；

又T=365，

（Ⅲ）

∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时.

小结：

通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，有些同学可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。

总之，设“角”求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，有的虽然可以用边为变量建立函数关系，但往往求解比较困难。

用“角变量”建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。

探索与思考：

1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？

2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？