全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案版文档格式.doc

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4．方程共有（）个不同的实根．

（A）0（B）1（C）2（D）3

5．在正方体的十二条面对角线和四条体对角线中随机地选取两条对角线．则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于（）

（A）（B）（C）（D）以上结果均不对

6．设△ABC的周长为12，内切圆半径为1.则（）

（A）△ABC必为直角三角形（B）△ABC必为锐角三角形

（C）△ABC必为直角三角形或锐角三角形（D）以上结论均不对

二、填空题（每小题9分，共54分）

7．在正四棱锥P-ABCD中，四个侧面均为等边三角形，设该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的大小为，则

8．设、分别为等差数列、的前项之和．若，则

9．设O为原点，A为抛物线上的动点，B为抛物线上的动点．则△OAB面积的最小值为

10．设．则除以100的余数为

11．设复数．则的值为（用数字作答）

12．设、、、均为实数，满足．

则的最小值为

三、解答题（每小题20分，共60分）

13．设．证明：

对任意的，有．

14．已知正△ABC内接于抛物线，△ABC的重心P落在双曲线上．求点P的坐标．

15．设，，…）．

证明：

（1）存在常数，使得对任意正整数，有．

（2）对任意正整数，有．

参考答案

一、选择题CBCBBD

二、填空题

7．；

8．3；

9．2；

10．6；

11．2；

12．1．

三、解答题

13．因为当时，有，所以，在区间上严格单调递减．

于是，对任意的，有．……………5分

再由在区间上严格单调递减，知对任意的，有．………………10分

对任意的，

………………15分

令．

对任意的，有

．

故．………………20分

14．设，，，AB、BC的中点分别为F、D．则△ABC为正三角形当且仅当、、互不相等，且，．

于是，．

再由，，得

①

类似地，由，，得

②

①－②得

③

设，则

，

故由式③得

又由，代入上式化简整理得

因此，．

15．

（1）记．则

，，

…）．………………5分

下面用数学归纳法证明：

对任意的正整数，有．

当1，2时，．

设…．则

因此，结论成立．

于是，取C=2，对任意正整数，有．………………10分

（2）由

（1）得

…）．

记…）．则

于是，对任意的正整数，

……………………15分

因此，当时，

又当时，，故对任意的正整数，有．

……………………20分

2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛第5页，共5页