万有引力与航天(基础复习)Word格式.doc
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,R为天体半径。
(2)天体质量,密度的估算。
测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r,周期为T,由得被环绕天体的质量为,密度为,R为被环绕天体的半径。
当环绕天体在被环绕天体的表面运行时,r=R,则。
(3)环绕天体的绕行速度,角速度、周期与半径的关系。
①由得
∴r越大,v越小
②由得
∴r越大,越小
③由得
∴r越大,T越大
(4)三种宇宙速度
①第一宇宙速度(地面附近的环绕速度):
v1=7.9km/s,人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。
②第二宇宙速度(地面附近的逃逸速度):
v2=11.2km/s,使物体挣脱地球束缚,在地面附近的最小发射速度。
③第三宇宙速度:
v3=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚,在地面附近的最小发射速度。
(1)测天体的质量及密度:
(万有引力全部提供向心力)
由得
又得
【例1】继神秘的火星之后,今年土星也成了全世界关注的焦点!
经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后,美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日(北京时间7月1日)抵达预定轨道,开始“拜访”土星及其卫星家族。
这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测!
若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道,在半径为R的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行,环绕周飞行时间为。
试计算土星的质量和平均密度。
解析:
设“卡西尼”号的质量为m,土星的质量为M.“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供.
,其中,
所以:
.
又,
模型2:
2011年11月8日,“萤火1号”火星探测器发射升空.假设探测器在离火星表面高度分别为和的圆轨道上运动时,周期分别为和.火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响,万有引力常量为G.仅利用以上数据,可以计算出(
)
A.
火星的密度和火星表面的重力加速度
B.
火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C.
火星的半径和“萤火一号”的质量
D.
火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
解:
A、因为万有引力提供探测器做圆周运动的向心力,则有:
;
联立方程可求得火星的质量M和火星的半径R,
根据密度公式得:
.
在火星表面的物体有,
可得火星表面的重力加速度,所以可得出火星的密度和火星表面的重力加速度,所以A选项是正确的.
B、从A选项分析知道可以求出火星的质量,因为不知道“萤火一号”的质量,所以不能求出火星对“萤火一号”的引力,故B错误.
C、从A选项分析知道可以求出火星的质半径,不能求出“萤火一号”的质量,故C错误.
D、从A选项分析知道可以求出火星的表面的重力加速度,因为不知道“萤火一号”的质量,所以不能求出火星对“萤火一号”的引力,故D错误.所以A选项是正确的.
(2)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题:
(重力近似等于万有引力)黄金代换式
表面重力加速度:
轨道重力加速度:
【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动,已知行星表面的重力加速度为g0,行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81,行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R=3.6,行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0=60。
设卫星表面的重力加速度为g,则在卫星表面有……
经过计算得出:
卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。
上述结果是否正确?
若正确,列式证明;
若有错误,求出正确结果。
题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度,而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。
正确的解法是
卫星表面=g行星表面=g0即=即g=0.16g0。
已知地球半径为,地球表面重力加速度为,不考虑地球自转的影响。
(1)推导第一宇宙速度的表达式;
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动,运行轨道距离地面高度为,求卫星的运行周期。
答案
设卫星的质量为m,地球的质量为M
在地球表面附近满足
①
得
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
②
①式代入②式,得到
(2)考虑①式,卫星受到的万有引力为
③
由牛顿第二定律:
④
③、④式联立解得
3、人造卫星、宇宙速度:
宇宙速度:
(弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别)
【例3】将卫星发射至近地圆轨道1(如图所示),然后再次点火,将卫星送入同步轨道3。
轨道1、2相切于Q点,2、3相切于P点,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,以下说法正确的是:
P
1
2
3
Q
A.卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。
B.卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。
C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度。
D.卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。
解:
由得,
而,
轨道3的半径比1的大,故A错B对,“相切”隐含着切点弯曲程度相同,即卫星在切点时两轨道瞬时运行半径相同,又,故C错D对。
如图所示,同步卫星与地心的距离为,运行速率为,向心加速度为;
地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为,第一宇宙速度为,地球半径为,则下列比值正确的是(
)。
A:
B:
C:
D:
选项分析:
A、B项,同步卫星与地球自转的角速度相同,,,,故A项正确,B项错误。
C、D项,同步卫星:
,对于近地卫星:
,,故C项错误,D项正确。
综上所述,本题正确答案为AD。
模型3:
如图所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是和(为地球半径)。
下列说法中正确的是(
a、b的线速度大小之比是B:
a、b的周期之比是
C:
a、b的角速度大小之比是D:
a、b的向心加速度大小之比是
A项,根据万有引力与行星线速度的关系得,所以a、b的线速度大小之比,故A项错误。
B项,根据万有引力与行星绕转周期的关系得,所以a、b的周期之比为,故B项错误。
C项,根据万有引力与行星角速度的关系得,所以a、b的角速度之比为,故C项正确。
D项,根据万有引力与行星加速度的关系得,所以a、b的加速度之比为,故D项正确。
综上所述,本题正确答案为CD。
4、双星问题:
【例4】两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量。
设两星质量分别为M1和M2,都绕连线上O点作周期为T的圆周运动,星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2。
由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得
对M1:
G=M1()2l1 ∴M2=
对M2:
G=M2()2l2 ∴M1=
两式相加得M1+M2=(l1+l2)=。
经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”.“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体.如图,两颗星球组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L,质量之比为.则可知(
A.
、做圆周运动的线速度之比为
B
.、做圆周运动的角速度之比为
C.
做圆周运动的半径为D.
做圆周运动的半径为
双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,向心力大小相等,故有:
所以又
所以可得,A、据可以知道,,所以A选项是正确的;
B、因为双星的角速度相等,故B错误;
C、因为,所以C错误;
D、因为,所以D选项是正确的.所以AD选项是正确的.
5、有关航天问题的分析:
【例5】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H=3.4105m的圆轨道上运行了47小时。
求在这段时间内它绕行地球多少圈?
(地球半径R=6.37106m,重力加速度g=9.8m/s2)
用r表示飞船圆轨道半径r=H+R==6.71106m。
M表示地球质量,m表示飞船质量,表示飞船绕地球运行的角速度,G表示万有引力常数。
由万有引力定律和牛顿定律得利用G=g得 =2由于=,T表示周期。
解得
T=,又n=代入数值解得绕行圈数为n=31。
练习:
1.如图所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是和(为地球半径)。
a、b的线速度大小之比是B:
a、b的角速度大小之比是D:
2.近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为和,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为、,则(
B:
C:
3.某网站报道,美科学家发现太阳系外第一颗“全宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍.如果某一天发射一颗载人航天器到该行星上去,测得一个在地球表面质量为50kg的人在该行星表面的重力约为800N,而地球表面处的重力加速度为10m/s2.根据上述信息,你认为下列说法中正确的是( )
A.载人航天器的发射速度约为7.9km/sB.载人航天器的发射速度小于11.2km/s
C.该行星的半径与地球的半径之比约为2D.该行星的半径与地球的半径之比约为3
4.“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月,从发射到撞月历时433天,标志我国一期探月工程圆满结束.其中,卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周,再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行.若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的,月球半径为地球半径的,根据以上信息得(
A.绕月与绕地飞行周期之比为
B.绕月与绕地飞行周期之比为
C.绕月与绕地飞行向心加速度之比为D.月球与地球质量之比为
5.嫦娥二号卫星已成功发射,这次发射后卫星直接进入近地点高度200公里、远地点高度约38万公里的地月转移轨道直接奔月.当卫星到达月球附近的特定位置时,卫星就必须“急刹车”,也就是近月制动,以确保卫星既能被月球准确捕获,又不会撞上月球,并由此进入近月点100公里、周期12小时的椭圆轨道a.再经过两次轨道调整,进入100公里的近月圆轨道b.轨道a和b相切于P点,如图所示.下列说法正确的是(
嫦娥二号卫星的发射速度大于7.9
小于11.2
嫦娥二号卫星的发射速度大于11.2
嫦娥二号卫星在a、b轨道经过P点的速度
嫦娥二号卫星在a、b轨道经过P点的加速度分别为、则
6.某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆.每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上,如图所示.该行星与地球的公转半径比为(
)
A