2014年天津市高考数学试卷(理科)Word文件下载.doc

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C．﹣=1 D．﹣=1

6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：

①BD平分∠CBF；

②FB2=FD•FA；

③AE•CE=BE•DE；

④AF•BD=AB•BF．

所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④

7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°

，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：

5：

6，则应从一年级本科生中抽取　　名学生．

10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：

m），则该几何体的体积为　　m3．

11．（5分）设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为　　．

12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为　　．

13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为　　．

14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　　．

三、解答题（共6小题，共80分）

15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．

16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：

BE⊥DC；

（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．

（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；

（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：

若an＜bn，则s＜t．

20．（14分）设f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）证明：

随着a的减小而增大；

（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．

参考答案与试题解析

1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（　　）

【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．

【解答】解：

复数==，

故选A．

2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　）

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

作出不等式对应的平面区域，

由z=x+2y，得y=﹣，

平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．

此时z的最小值为z=1+2×

1=3，

故选：

B．

3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（　　）

【分析】算法的功能是求S=1×

3×

5×

…×

（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．

由程序框图知：

算法的功能是求S=1×

（2i+1）的值，

∵跳出循环的i值为4，

∴输出S=1×

7=105．

4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（　　）

【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．

令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，

故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），

当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，

所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．

D．

5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．

∵双曲线的一个焦点在直线l上，

令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，

∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

y=2x+10，

∴=2，

∵c2=a2+b2，

∴a2=5，b2=20，

∴双曲线的方程为﹣=1．

A．

6．（5分）（2014•天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：

【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．

∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，

∴∠DBC=∠DAC．

∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，

∴∠FBD=∠BAF．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAF=∠DAC．

∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．

又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．

由，FB2=FD•FA．即结论②成立．

由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．

正确结论有①②④．

故答案为D

7．（5分）（2014•天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（　　）

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．

若a＞b，

①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．

②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．

③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．

若a|a|＞b|b|，

①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．

②当a＞0，b＜0时，a＞b．

③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，

综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，

C．

8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°

【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3①；

再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．

由题意可得若•=（+）•（+）=+++

=2×

2×

cos120°

++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×

=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，

∴4λ+4μ﹣2λμ=3①．

•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）

=（1﹣λ）（1﹣μ）×

=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，

即﹣