高等代数课件线性变换习题PPT资料.pptx

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时故A不是V的线性变换。

;

3.在P3中，解:

不是。

4.在P3中，解:

是。

5.在Px中,解:

6.在Px中,解:

7.把复数域看作复数域上的线性空间，解:

8.在Pnn中，解:

9.在Px中,证:

则由题意可知10.设是线性空间V的一组基，A是V上的线线性无关.性变换,证明：

A可逆当且仅当证：

“=”（反证法）：

若A可逆，则A-1存在且仍为V的线性变换。

线性相关，线性相关，是V的一组基矛盾。

故线性无关。

这显然与从而假设“=”：

设对V中向量线性无关，则它亦是V的一组基，存在线性变换B，使得故即又因为V是有限维空间，故即A可逆。

求下列线性变换在所指定基下的矩阵：

11.第1题中变换A在基下的矩阵；

解：

由定义知从而A在基下的矩阵为12.是平面上直角坐标系，A是平面上向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，B是平面上向量对的垂直投影，求A,B,AB在基下的矩阵；

故B在基故A在基下的矩阵为下的矩阵为13.在空间Pxn中，设变换A为解：

故A在基下的矩阵为14.六个函数的所有实系数线性组合构成实数域上的一个六维线性空间。

求微分变换D在基解：

15.在P3中线性变换A在基的矩阵,求A在基下的矩阵；

显然到的过渡矩阵为16.在P3中,A定义如下求A在解：

下的矩阵；

到的过渡矩阵为17.同上，求在下的18.设三维线性空间V上的线性变换A在基矩阵为1）求A在基2）求A在基3）求A在基下的矩阵；

下的矩阵，下的矩阵；

在基解：

1）基到基的过渡矩阵为下的矩阵2）该方法同1），此时在基下的矩阵3）下的矩阵在基19.

（1）已知A在一组基下的矩阵,求复数域上线性空间V的线性变换A的特征值与特征向量.

（2）哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形，求出过渡矩阵T，并验算TAT.解：

A的特征多项式为可得特征值为代入得解TX=0得基础解系为代入得解T1X=0得基础解系为从而A的属于的特征向量为的特征向量为,属于,其中k为任意非0常数。

20.设解：

故由有，求得A的特征值为即21.设A是线性空间V上的线性变换，若线性无关.证：

反证法。

若线性相关，则存在不全为0的是第一个不为0的系数，即则这与假设矛盾。

故两边用作用，得故对都有从而上式中有又线性无关。

22.在n维线性空间中，设有线性变换与向量，使得但求证:

在某组基下的矩阵是证：

由上题可知，故为n维线性空间V的一组基。

线性无关。

23.设是四维线性空间V的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为1）求A在基下的矩阵；

2）求A的核与值域；

3）在A的核中选一组基，把它扩充成V的一组基，求A在这组基下的矩阵；

4）在A的值域中选一组基，把它扩充成V的一组基，并求A在这组基下的矩阵.解：

1）到的过渡矩阵为：

记A在基下的矩阵为A1，在基下的矩阵为A2，则2）取，则解该方程组得A在基而由上面的过程知故下的矩阵为A1，故得所以，且A1前两列是极大无关组，是一个极大无关组。

即3）故D满秩，所以为V的一组基，且为核的基到线性无关，从而扩充而来。

显然，基的过渡矩阵为D。

故A在基下的矩阵为：

4）方法同3）线性无关，扩充而来。

故D0满秩，所以从而为V的一组基，且为核的基A在基下的过渡矩阵为：

的特征值.，因可逆，24.设是线性空间上的可逆线性变换.1）证明:

特征值一定不为0；

2）证明:

如果是特征值，那么,是证：

1）若有0特征值，则故与矛盾，故特征值一定不为0。

由1）知故是的特征值。

2）若是特征值，对应特征向量为则可逆