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第15章虚位移原理
解题的一般步骤及应注意的问题
１．解题的一般步骤
（１）根据题意，分清所分析的问题是属于哪一类问题
①求平衡条件；
②求约束反力；
③求桁架内力。
（2）分析约束的性质,画主动力的受力图.①系统以外的物体对它的作用力；②非理想约束的约束反力；③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。
（3）确定系统的自由度，应包括因解除约束而增加的自由度。
选择合适的坐标做广义坐
标。
（4）给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移间的关系：
①几何法：
运用运动学中分析速度的方法，进行计算。
②分析法：
先选一静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后再对广义坐标取变分，进行计算。
（5）建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。
2.应注意的问题
1应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离体。
2计算弹性力在虚位移中的虚功时，弹性力的大小与虚位移的大小无关。
3在计算转动刚体（或平面运动刚体）上的主动力的虚功时，如果把主动力的虚功转化为主动力对转动轴（或瞬时转动轴）之力矩的虚功，可能简便些。
三、典型例题分析
例1图示曲柄连杆机构,在曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶,欲使机构在图示位置保
持平衡,试求加于滑块B上的水平力P应为多大?
已知OA=a,AB=b,
在图示位置AB与水
平线的夹角=30o
B
P
rB
rA
O
δ
A
δ
δ
解:
这是属于求主动力的平衡条件的问题。
作用于系统和主动力有Ｐ和Ｍ。
系统受完整
约束，有一个自由度，当机构有虚位移时，ＯＡ作定轴转动，曲柄ＡＢ作平面运动，滑块Ｂ
作平动。
令ＯＡ杆的虚位移为
δ，则Ａ点虚位移为
rA,B点虚位移为
rB,AB杆的虚位移为
绕瞬心C的微小转角δ,
机构的虚位移如图。
根据虚位移原理得：
ＰrB－Ｍδ＝０
（１）
152
rA
a
AC
rB
BC
rB
BC
rA
a
3
AC
代入（１）式得：
Pa
3
M
0
0
P
3M
a
15-1图示曲柄式压缩机的销钉
B上作用有水平力
F，此力位于平面ABC内。
作用线平分
ABC。
设AB=BC，
ABC
2
，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。
解：
令B有虚位移δrB
AB，而C有铅直向上的虚位移
δrC，如图（a）。
将δrB及δrC向
BC方向投影，为简单起见，以
δrB表示δrB的绝对值δrB，以δrC表示δrC，则有
δrCcos（90
）
δrBcos（2
90）
δrB
1
（1）
即
2cos
δrC
由虚位移原理得
FδrBsin
FNδrC
0
δrB
FN
（2）
δrC
Fsin
将式
（1）代入
（2）得FN
Ftan
2
15-3挖土机挖掘部分示意如图。
支臂
、
B
、
D
、
、
F为铰链，液压油缸AD
DEF不动，A
E
伸缩时可通过连杆
AB使挖斗BFC绕F转动，EA=FB=a。
当1
230
时杆AEDF，
此时油缸推力为F。
不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩
M。
解：
由虚功原理：
Fcos
1δrA
Mδ
0
（1）
δ
式中
rB
（2）
δ
a
δrAcos
δrBsin
、
2
2
AB的虚位移向AB投影
δrA
δrBtan
2
（3）
式
（2），（3）代入
（1）得
cos
tan
δ
δrB
0
F
1
2
rBM
a
1Fa
1
230,M
Fasin2,M
2
15-5在图示机构中，当曲柄
OC绕O轴摆动时，滑块
A沿曲柄滑动，从而带动杆
AB在铅
直导槽K内移动。
已知：
OC=a，OK=l，在点C处垂直于曲柄作用一力
F1；而在点B沿
BA作用一力F2。
求机构平衡时
F2与F1的关系。
解：
用解析法解，选取
为广义坐标，则滑块
A的约束方程
yA
ltan
δyA
lsec2
δ
（1）
153
由虚位称原理
（F1a）δ
F2δyA
0
（2）
把式
（1）代入
（2）得
F1aδ
F2lsec2
δ
0
因
δ0，于是有
F1a
F2lsec2
0
故
F1
F2l
acos2
15-7
图示滑套D套在光滑直杆
AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动，
已知
0时弹
簧为原长，弹簧刚性系数为
5kN/m。
求在任意位置平衡时，应加多大的力偶矩
M？
解：
解除弹簧约束，代之以弹性力
F及F。
0.3），
已知
0时弹簧原长为0.3m，在任意
角时，弹簧DBABAD
（0.6
0.3
cos
此时弹簧的缩短量为0.3
DB
（
0.3）。
0.3
cos
故弹性力FF
k（
0.3）
cos
取x轴沿AB杆，设D点沿杆的坐标为
xD，而选取
为广义坐标，则滑块
D的约束方
程为
xD
0.3
δ
0.3sin
δ
cos
，xD
cos2
另外有
xB=常量，δxB
0
由虚位移原理
（F）δxD
Mδ
0
把F及δxD的表达式代入上式得
k（
0.3
0.3）
0.3sin
δ
Mδ
0
cos
cos2
M
k0.3（
1
1）
0.3sin
cos
cos2
sin
（1cos）
把k=5000N/m代入求得
M
450
Nm
cos3
W1。
滑块C的
15-9
在图示机构中，曲柄AB和连杆BC为均质杆，具有相同的长度和重量
重量为W2，可沿倾角为
的导轨AD滑动。
设约束都是理想的，求系统在铅垂面内的平衡
位置。
解：
取
为广义坐标，另作坐标系
Axy，设AB=BC=l
因
y1
lsin（
）
2
154
y2ACsinlsin（）2lcossinl（）
22
yCACsin2lcossin
对坐标的变分：
δ
lcos（
）δ
y1
2
δy2
2lsin
sin
lcos（
）δ
2
δ
2sin
sinδ
yC
-l
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