传染病的传播及控制分析数学建模Word格式.docx
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控制前，患者人数呈指数增长趋势；
控制后，在p二04时，患者人数大致在7天时到达最大值，在25天时基本没有患者；
在p二0.3时，患者人数大概在第8天到达最大值186383,大概在28天之后基本没有患者；
在p二0.6时，大概在第5天患者人数到达峰值为47391,在21天时基本没有患者。
综上分析，对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。
针对所得结果，对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。
关键词：
隔离强度潜伏期SEIR模型
、问题重述:
2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，H7N9有变异的可能。
假设已知有一种未知的现病毒［1］潜伏期为a:
a天，患病者的治愈时间为a天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接
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触进行传播，患者每天接触的人数为r,因接触被感染的概率为九（入为感染率）。
为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。
潜伏期内的患者被隔离的强度为P（为潜伏期内患者被隔离的百分数）。
在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型，利用所给数据值生成患者人数随时间变化的曲线，增强或者减弱疑似患者的隔离强度，比较患者人数发生的变化，并分析结果的合理性。
最后结合该模型的数据对控制H7N9的传播做出一些科学的建议。
二、问题假设:
1、假设单位时间内感染病毒的人数与现有的感染者成比例；
2、假设单位时间内治愈人数与现有感染者成比例；
3、假设单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例；
4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒，有很强的免疫能力，即被移除出此传染系统；
5、假设正常人被传染后，进入一段时间的潜伏期，处于潜伏期的人群不会表现症状，不可传染健康人，不具有传染性；
6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗，被视为无法跟别人接触，故不会传染健康人；
7、假设实际治愈周期过后，如果患者没有治愈，则认为患者死亡，即实际治愈周期过后，患者都被移出此感染系统；
&
假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素对总人数的影响。
即：
总人口数不变，记为N；
三、符号说明:
符号
解释说明
S（t）
t时刻正常人（易受感染）人数
E（t）
t时刻疑似患者的人数
Q（t）
t时刻处于潜伏期的人数
I（t）
t时刻确诊患者的人数
R（t）
t时刻退出传染系统的人数（包括治愈者和死亡者）
n
潜伏期的人数中转化为确诊患病的人数占潜伏期
人数的比例
02
每日退出传染系统的人数比例
确诊患者的治愈时间
r
患者的人均日接触人数
因接触被感染的概率
P
潜伏期内的患者被隔离的强度
四、问题分析:
根据题意，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程，需要研究传染病在传播过程中各类人群的人数变化，特别是通过研究患者和疑似患者的人数变化，预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度，从而我们可以采取相应隔离措施达到控制传染病传播的效果。
我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型，查阅相关资料可知，关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程模型最具代表性，因题目中把人群分为五类：
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用微分方程中的SIER模型，将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群。
在此基础上，我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程，得出模型。
再利用matlab编程画出图形，改变其隔离强度后重新作图进行比较，对结果进行分析，并利用此模型对控制H7N9的传播做出建议。
五、模型的建立和求解:
5.1传染病模型的准备
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，因此我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按一般的传播机理建立模型。
查阅相关资料可知，目前关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程建立的模型比较具有代表性，模型复杂程度有区别，故适合的情形也不同，包括I模型、SI模型、SIR模型、SEIR模型等⑵。
I模型是最简单的模型，从已感染人数和有效接触率出发构建模型，但未区分已感染者（病人）和未感染者（健康人），结果发现，随着时间增加，病人人数会无限增长，这显然不符合实际；
SI模型是I模型的改进模型，它区分了已感染者和未感染者，但是该模型没有考虑到病人可以治愈，导致人群中的健康者只能变成病人，病人不能变成健康者，这也是不符合实际的；
在考虑病人治愈后有较强免疫力的情况下，SIR模型对SI模型进行了改进，即增加了移除者（包括死亡者和治愈者），但在实际情况下，传染病会出现疑似患者，故需要考虑隔离的情况。
SEIR模型妙⑷对SIR模型进行了改进，增加了疑似患者，考虑到了隔离强度，故我们选择SEIR模型进行此次建模。
根据题目所给的条件，人群分为五类：
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。
根据SEIR模型重新归类，得到以下结果：
（1）健康人群，即易感染（Susceptibles）人群。
记其数量为S（t）,表示t时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；
（2）确诊患者，即被感染（Infection）该疾病的人群，记其数量为I（t）,表示t时刻已经确诊为患者入院的人数；
（3）疑似病患，即被入院隔离的人群，包括一部分正常人一部分处于潜伏期的感染者，记其数量为E（t）,表示t时刻可能感染该疾病的入院被隔离的人数；
（4）潜伏期感染者，即已感染病毒但处于潜伏期的人群，记起数量为Q（t）表示t时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数。
（5）恢复人群（Recovered）,记其数量为R（t）,表示t时刻已从感染病者中移出的人数，包括死亡者和治愈者，这部分人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统。
该传染病的传播流程图如下：
图1传染病传播流程图
5.2传染病模型的建立⑸
传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。
对S来说，一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常人，使其成为潜伏期感染者流出S；
对于E来说，流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常人，流出者包括一部分没有被感染的正常人和隔离后被确诊患者；
对于I来说，它既有从包括隔离和未被隔离的H中确诊的流入者，也有已经治愈的流出者；
对于R来说，它只有从I中治愈转化而来的流入者。
以上过程在传染的每一时刻都是相同的。
为此我们可将时间假定的非常小，在某一时刻对S、E、I、R取其对时间的微分，这样既可建立传染病控制模型的微分方程组如下：
1＞控制前阶段:
前两天，患者没有住院，疑似患者没有被隔离，患者可以随意接触和感染正常人。
分析控制前vt阶段时间内，疫情的发展与变化。
（1）正常人——疑似患者：
控制前阶段病人尚未被隔离，所以疫情发展比较迅速，此时病人人均每天接触「个正常人，假设t时刻病人人数为I（t），则新增疑似患者人数为AE，AE=I（t）r-At=r-I（t）Ato
（2）疑似患者——潜伏期：
疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者，病毒携带者会进入潜伏期，而非病毒携带者最终还是正常人。
设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为入，假设t时刻疑似患者人数为E（t）,潜伏期患者人数为Q（t）,则Q（t）=E（t）x,故新增潜伏期人数为AQ=AE•入o
（3）潜伏期确诊患者：
因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长，用P表示这一特性。
那么新增确诊患者人数为Al=p・Q（t）・At,现在要确定p,如果淋伏期天数为a
111到a,假设其变化到了一个稳定阶段，那么随曹天数的增加犢伏期的病人越来越多，2其概率分布呈指数稳步增长，则每天有1-（1-1/（a-a））e-t概率的人变为猪流感患者，即p=1-（1-1/（a-a））e-to所饮薪增患者人数：
Al=1-（1-1/（a-aJ）e-t・AQ・AtF（1
⑷确诊患奢-丄--治'
愈、死亡：
设T为退出系统人数（治愈者和死亡者），如果治愈天数设为a,那么a天
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后病人要么死亡要么被治愈，而被治愈的人产生抗体，不再会被传染，所以被洽愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。
设系统退出率为a,则有退出人数AT=I（t）pAtop的求解方法与p相同，即随着天数的增加退出传染系统的人数也越乗越多/则P=1-（1-11/a）-e-to故新退出传染系统的人数3
32
根据上述（O（4）的式子可进一步得出：
Q二九・E
Q（t+At）-Q（t）=x-rJ（t）«
At-（1-（1-1/Ja-a））•e（-t））-Q（t）・AtVt+At）-I（t）=1-Cl-1/（a-a））•eW4QAt-（1-（1-（1/a3））.e（-0）•I（t）-At〔T（t+At）—T（t）=（1—（1—（1/a3））!
W））・I（t）•At
所以得出以下：
.-dQ/dt=x.r-I（t）-（1-（1-1/（a2-a1））•e-t）・Q（t）
dl/dt=（1-（1-1/（a2-a1））.e（-t）-Q（t）-（1-（1-（1/a3））・e（-t）・I（t）
dT/dt=（1-（1-1/a））・W）・I（t）2、控制后阶段:
两天之后，患者全部住院，疑似患者全部被隔离，剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后可以接触和感染正常人。
分析控制后阶段At时间内，疫情的发展与变化。
控制后阶段，病人开始被隔离，所以疫情发展开始变慢，并受隔离强度p影响，此时病人每天接触的AE=L・I（t）・△正常人数目广也在变小，假设病人的数目为l（t）,则疑似患者数目。
又因为接触率「与隔离强度p有关，也呈指数分布，所以r=r.e-Pt,故新增疑似患者的数目肛=res・i（t）・At。
控制后阶段，疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例入不会改变。
假设t时刻疑似患者人数为E（t）,潜伏期患者人数为Q（t）=E（t）u,故新增潜伏期人数为AQ=AE・U。
爭伏期患者变为确诊患申的过程与控制前时刻相同，所以新增患者人数
Al=（1-（1-V（a-a））-e-t）AQ-Ato
（4）确诊患會-丄--治愈者、死亡者：
同样追出传染系统的人数不变，则新增退出传染系统的人数
AT=（1—1/a）•e_tI（t）-Ato
根据上述（1》
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