青岛版八年级数学下册专题讲练巧用三角形中位线试题含答案Word格式.docx

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延长AD、AE交BC、CB的延长线于G、H，

∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，

又∵BD⊥AD，

∴∠ADB=∠BDG=90º

∴△ABG为等腰三角形

∴AD=DG，同理可证，AE=GE，

∴D，E分别为AG，AH的中点， 

∴ED∥BC

点拨：

本题巧妙地应用了等腰三角形的三线合一，但最终还是利用中位线的性质得出结论。

例题2如图，已知平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EF，交BD于M点。

（1）BM=BD；

（2）ME=MF。

（1）由E、F分别为AB、BC的中点想到连结AC，由平行线等分线段定理可证得BM=MO。

又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD，即BM=BD。

（2）由问题

（1）中的辅助线，即连结AC，由三角形中位线定理可得，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题

（2）的结论。

（1）连结AC，交BD于O点，

∵E、F分别为AB、BC中点，

∴EF∥AC，

∴BM=MO=BO

又∵四边形ABCD是平行四边形

∴BO=OD=BD，AO=OC=AC，

∴BM=BO=BD；

（2）∵M是BO的中点，E、F分别是AB、BC的中点。

∴ME=AO，MF=OC，又∵AO＝OC，∴ME＝MF。

问题

（1）运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题

（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。

三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线是一个重点也是一个难点。

要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理。

例题如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD的延长线于S、T两点，求证：

∠ATF=∠BSF。

连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥AD，EH=AD，FH∥BC，FH=BC，然后求出EH=FH，根据等边对等角可得∠EFH=∠FEH，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ATF=∠FEH，两直线平行，内错角相等可得∠BSF=∠EFH，然后等量代换即可得证。

如图，连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，

∵E、F分别是CD、AB的中点，

∴EH、FH分别是△ACD和△ABC的中位线，

∴EH∥AD，EH=AD，FH∥BC，FH=BC

∵AD=BC，

∴EH=FH，

∴∠EFH=∠FEH，

又∵EH∥AD，FH∥BC，

∴∠ATF=∠FEH，∠BSF=∠EFH，

∴∠ATF=∠BSF。

本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并作辅助线，考虑利用三角形的中位线定理是解题的关键。

（答题时间：

30分钟）

一、选择题

1.（宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：

先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离。

有关他这次探究活动的描述错误的是（　　）

A.AB=24mB.MN∥ABC.△CMN∽△CABD.CM：

MA=1：

2

2.（泸州）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（　　）

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

3.（泰安）如图，∠ACB=90°

，D为AB的中点，连结DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F。

若AB=6，则BF的长为（　　）

A.6B.7C.8D.10

4.（福州模拟）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连结OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（　　）

A.6B.7C.8D.12

5.（邢台二模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（　　）

A.20B.40C.36D.10

二、填空题

6.（怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：

S△ABC=　_________　。

7.（邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。

∠A=30°

，AB=8，则DE的长度是_________。

8.（沈阳）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影。

假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为_________。

9.（天桥区一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为_________。

10.（海门市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=52°

，点D，E分别是AB，AC的中点。

若点F在线段DE上，且∠AFC=90°

，则∠FAE的度数为_________。

三、解答题

11.（南京）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F。

（1）求证：

四边形DBFE是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？

为什么？

12.（鞍山一模）

（1）如图1所示，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：

AB=CD。

（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线）

（2）如图2所示，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°

，求OE的长度。

1.D解析：

∵M、N分别是AC，BC的中点，

∴MN∥AB，MN=AB，

∴AB=2MN=2×

12=24m，

△CMN∽△CAB，

∵M是AC的中点，

∴CM=MA，

∴CM：

1，

故描述错误的是D选项。

2.C解析：

由等边△ABC得∠C=60°

，

由三角形中位线的性质得DE∥BC，

∴∠DEC=180°

﹣∠C=180°

﹣60°

=120°

3.C解析：

如图，∵∠ACB=90°

，D为AB的中点，AB=6，

∴CD=AB=3。

又CE=CD，

∴CE=1，

∴ED=CE+CD=4。

又∵BF∥DE，点D是AB的中点，

∴ED是△AFB的中位线，

∴BF=2ED=8。

4.B解析：

∵BD，CE是△ABC的中线，

∴ED∥BC且ED=BC，

∵F是BO的中点，G是CO的中点，

∴FG∥BC且FG=BC，

∴ED=FG=BC=2，

同理GD=EF=AO=1.5，

∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7。

5.A解：

∵A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，AC=8，BD=10，

∴A1D1=B1C1=BD=5，A1B1=C1D1=AC=4，A1D1∥BD∥B1C1，A1B1∥AC∥C1D1，

∵四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，

∴四边形A1B1C1D1是矩形，

∴SA1B1C1D1=5×

4=20。

6.1：

4解析：

∵D、E是边AB、AC上的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC且DE=BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：

S△ABC=（1：

2）2=1：

4。

7.2解析：

∵D为AB的中点，AB=8，

∴AD=4，

∵DE⊥AC于点E，∠A=30°

∴DE=AD=2。

8.解析：

∵D、E分别是BC、AC的中点，

∴ED∥AB，且DE=AB，

∴△CDE∽△CBA，

∴==，

∴S△CDE=S△CBA。

同理，S△FPM=S△FDE=S△CBA，

∴S△FPM+S△CDE=S△CBA，

则=。

9.16解析：

∵菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，EF=2，

∴BC=2EF=2×

2=4。

即AB=BC=CD=AD=4。

故菱形的周长为4BC=4×

4=16。

10.64°

解析：

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE是三角形ABC的中位线，

∴DE∥BC，

∴∠AED=∠ACB，

∵∠AFC=90°

，E为AC的中点，

∴EF=AC，AE=CE，

∴EF=CE，

∴∠EFC=∠ECF，

∴∠ECF=∠EFC=∠ACB=26°

∴∠FAE的度数为90°

﹣26°

=64°

11.解：

（1）证明：

∵D、E分别是AB、AC的中点，

又∵EF∥AB，

∴四边形DBFE是平行四边形；

（2）解：

当AB=BC时，四边形DBFE是菱形。

理由如下：

∵D是AB的中点，

∴BD=AB，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE=BC，

∵AB=BC，

∴BD=DE，

又∵四边形DBFE是平行四边形，

∴四边形DBFE是菱形。

12.

（1）证明：

连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH。

∵E、F分别是BC、AD的中点，

∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，

∵∠BME=∠CNE，∠BME=∠HEF，∠CNE=∠HFE，∴∠HEF=∠HFE。

∴HE=HF，

∴AB=CD；

连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，

∴EH∥AB，EH=AB，HO∥DC，HO=DC。

∵AB=CD，

∴HO=HE，

∴∠HOE=∠HEO，

∵∠OEC=60°

∴∠HEO=∠AGO=60°

∴△OEH是等边三角形，

∵AB=DC=5，

∴OE=。