成才之路高中数学人教A版选修23练习综合检测2含答案解析文档格式.docx
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m
2m
[答案] B
[解析] 由m＋2m＝1得，m＝，∴E（X）＝0×
＋1×
＝，D（X）＝（0－）2×
＋（1－）2×
＝，故选B．
4．（2016·
天水高二检测）设随机变量X服从正态分布N（3,4），则P（X<
1－3a）＝P（X>
a2＋7）成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．a＝1或2B．a＝±
1或2
C．a＝2D．a＝
[解析] ∵X～N（3,4），P（X<
a2＋7），
∴（1－3a）＋（a2＋7）＝2×
3，∴a＝1或2.故选B．
5．如果随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）＝7，D（ξ）＝6，则p等于（ ）
[解析] 如果随机变量ξ～B（n，p），则Eξ＝np，Dξ＝np（1－p），
又E（ξ）＝7，D（ξ）＝6，∴np＝7，np（1－p）＝6，∴p＝.
6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1只是坏的B．4只全是好的
C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的
[答案] C
[解析] X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P（X＝k）＝（k＝1、2、3、4）．
∴P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，∴选C．
7.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为（ ）
[解析] 小球落入B袋中的概率为P1＝（×
×
）×
2＝，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝.
8．已知随机变量ξ服从正态分布N（3,4），则E（2ξ＋1）与D（2ξ＋1）的值分别为（ ）
A．13,4B．13,8
C．7,8D．7,16
[解析] 由已知E（ξ）＝3，D（ξ）＝4，得E（2ξ＋1）＝2E（ξ）＋1＝7，D（2ξ＋1）＝4D（ξ）＝16.
9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是（ ）
A．7.8B．8
C．16D．15.6
[解析] X的取值为6、9、12，P（X＝6）＝＝，
P（X＝9）＝＝，P（X＝12）＝＝.
E（X）＝6×
＋9×
＋12×
＝7.8.
10．设随机变量ξ服从分布P（ξ＝k）＝，（k＝1、2、3、4、5），E（3ξ－1）＝m，E（ξ2）＝n，则m－n＝（ ）
A．－B．7
C．D．－5
[解析] E（ξ）＝1×
＋2×
＋3×
＋4×
＋5×
＝，∴E（3ξ－1）＝3E（ξ）－1＝10，
又E（ξ2）＝12×
＋22×
＋32×
＋42×
＋52×
＝15，∴m－n＝－5.
11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（a、b、c∈[0,1）），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
[解析] 由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝（3a）·
b≤·
2＝，等号在3a＝b＝，即a＝，b＝时成立．
12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：
f1（x）＝x，f2（x）＝x2，f3（x）＝x3，f4（x）＝sinx，f5（x）＝cosx，f6（x）＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为（ ）
[解析] 由于f2（x），f5（x），f6（x）为偶函数，f1（x），f3（x），f4（x）为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
E（ξ）＝1×
＝.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．（2016·
泉州高二检测）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E（η）＝1，则D（η）的值为________.
[答案] 11
[解析] 根据题意得出随机变量ξ的分布列：
E（ξ）＝0×
＝，
∵η＝aξ－2，E（η）＝1，
∴1＝a×
－2，即a＝2，
∴η＝2ξ－2，E（η）＝1，
D（ξ）＝×
（0－）2＋×
（1－）2＋×
（2－）2＋×
（3－）2＋×
（4－）2＝，
∵D（η）＝4D（ξ）＝4×
＝11.
故答案为11.
14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P（B|A）＝________.
[答案]
[解析] 由条件知，P（A）＝，P（AB）＝＝，
∴P（B|A）＝＝.
15．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是________元.
[答案] 140
[解析] 设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，－100，其概率分布列为：
300
－100
0.6
0.4
所以E（X）＝300×
0.6＋（－100）×
0.4＝140.
16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是______（写出所有正确结论的序号）.
①P（B）＝；
②P（B|A1）＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
[答案] ②④
[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故④正确，易知P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，又P（B|A1）＝，P（B|A2）＝，P（B|A3）＝，故②对③错；
∴P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋P（A3B）＝P（A1）·
P（B|A1）＋P（A2）P（B|A2）＋P（A3）·
P（B|A3）＝×
＋×
＝，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学.
（1）求甲、乙两人都被分到A社区的概率；
（2）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；
（3）设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E（ξ）的值．
[解析]
（1）记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P（M）＝＝，
即甲、乙两人同时分到A社区的概率是.
（2）记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么
P（E）＝＝，
所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是
P（）＝1－P（E）＝.
（3）随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i（i＝1,2）”是指有i个同学到A社区，
则p（ξ＝2）＝＝.
所以p（ξ＝1）＝1－p（ξ＝2）＝，
ξ的分布列是：
p
∴E（ξ）＝1×
18．（本题满分12分）（2015·
重庆理，17）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个.
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
[解析]
（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有
P（A）＝＝.
（2）X的可能取值为0,1,2，且
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝
综上知，X的分布列为：
故E（X）＝0×
＝（个）．
19．（本题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
工序
概率
产品
第一工序
第二工序
甲
0.8
0.85
乙
0.75
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在
（1）的条件下，求ξ、η的分布列及E（ξ），E（η）；
等级
利润
一等
二等
5（万元）
2.5（万元）
1.5（万元）
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在
（2）的条件下，x、y为何值时，z＝xE（ξ）＋yE（η）最大？
最大值是多少？
项目
产品
工人（名）
资金（万元）
8
5
10
[解析]
（1）P甲＝0.8×
0.85＝0.68，
P乙＝0.75×
0.8＝0.6.
（2）随机变量ξ、η的分布列是
2.5
0.68
0.32
η
1.5
E（ξ）＝5×
0.68＋2.5×
0.32＝4.2，
E（η）＝2.5×
0.6＋1.5×
0.4＝2.1.
（3）由题设知
即目标函数为z＝xE（ξ）＋yE（η）＝4.2x＋2.1y.
作出可行域（如图）：
作直线l：
4.2x＋2.1y＝0，
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝4.2x＋2.1y取最大值．
解方程组
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