数学奥林匹克初中训练题10Word文件下载.doc
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x<
3（C）-1≤x≤1（D）-1<
1
5.在Rt△ABC中，∠B=60°
，∠C=90°
，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于（）.
（A）（B）（C）（D）
6.在3×
5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有（）个可以是这枚棋子出发的小方格.
（A）6（B）8（C）9（D）10
二、填空题（每小题7分，共28分）
1.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB=.
2.设a、b、c为整数，且对一切实数x，（x-a）（x-8）+1=（x-b）（x-c）恒成立.则a+b+c的值
为.
3.如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP=1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为.
4.从1，2，…，2006中，至少要取出个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2008.
第二试
一、（20分）实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.
二、（25分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°
，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:
（1）EP/DE=PD/DC;
（2）△EPD是等腰三角形.
三、（25分）在中，有多少个不同的整数（其中，[x]表示不大于x的最大整数）?
数学奥林匹克初中训练题10参考答案
一、1.D.
设BC=a，AC=b.则
a2+b2=352=1225.①又Rt△AFE∽Rt△ACB，则FE/CB=AF/AC，.
故12（a+b）=ab.
由式①、②得（a+b）2=1225+24（a+b）.解得a+b=49（a+b=-25舍去）.所以，周长为84.
2.C.
因为n=（10-1）+（100-1）+…+（100…0（99个0）-1）=11…1（99个1）0-99=11…1（97个1）011，
所以，n的十进制表示中，数码1有97+2=99（个）.
3.D.
由Δ=36a2+4a>
0，得a>
0或a<
-1/9.由题意可设f（x）=x2+6ax-a=（x-x1）（x-x2）.
则（1+x1）（1+x2）=f（-1）=1-7a，
（1-6a-x1）（1-6a-x2）=f（1-6a）=1-7a.
所以，=8a-3.
解得a=1/2或a=0（舍去）.
4.B.
由题意知，不等式ax2+7x-1>
2x+对-1≤a≤1恒成立，即关于a的不等x2a+5x-6>
0对-1≤a≤1恒成立.令g（a）=x2a+5x-6.则g（-1）=-x2+5x-6>
0，g
（1）=x2+5x-6>
0.解得2<
3.
5.A.
如图，联结PQ.由题设得BC=1/2，AC=/2，∠QAT=90°
，
∠QCP=150°
，P、B、R三点共线.
因为S△AQT=AT·
AQ=AT·
AC=AT，
而S△ART/S△ARB=AT/AB，所以，S△ART=AT=S△AQT.从而，QT=RT.
于是，S△PRT=S△PQR=（S△ABC+S△ABR+S△BCP+S△CAQ+S△CPQ-S△AQR）=.
6.B.
如图5，将3×
5的棋盘黑白染色.图5中有8个黑色小方格和7个白色小方格，棋子每次移动都是黑白交替的，则7个白格不能作为出点.另一方面，如图6的8个黑格中的任一个都可以作为出发点.
二、1.15/8.因为PE+PC=PE+PA，所以，当A、P、E三点共线时，PE+PA最小.
如图，建立直角坐标系，设B为坐标原点，BA为x轴.则lBD:
y=x，
lAE:
3x+5y=15.所以，P（15/8，15/8）.故PB=15/8.
2.20或28.
因x2-（8+a）x+8a+1=x2-（b+c）x+bc恒成立，所以，8+a=b+c，8a+1=bc.
消去a可得bc-8（b+c）=-63，即（b-8）（c-8）=1.
因为b、c都是整数，所以，b-8=c-8=1或b-8=c-8=-1.
从而，a+b+c=20或28.
3.3/8.
设MA=x.
由MA·
MB=MP·
MQ，得x·
2x=1×
3.解得x=.
联结CN.在Rt△MCN中，MC=3x=3，MN=4.
所以，NC=，S△MCN=.
又S△MQB/S△MCN=1/2，则S△MQB=.
4.503.
从1，2，…，2006中选出两个奇数，和为2008的共有如下501组:
3+2005，5+2003，…，1003+1005.
由于1与其中的任意一个奇数的和都不会等于2008，因此，至少要取出503个奇数，才能保证其中一定有两个数，它们的和为2008.
一、设z=w+a，y=w+a+b，x=w+a+b+c.则a、b、c≥0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.
故100=5（w+a+b+c）+4（w+a+b）+3（w+a）+6w=18w+12a+9b+5c=4（4w+3a+2b+c）+（2w+b+c）
≥4（x+y+z+w）.
因此，x+y+z+w≤25.
当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最大值为25.
又100=18w+12a+9b+5c=5（4w+3a+2b+c）-（2w+3a+b）≤5（x+y+z+w），
则x+y+z+w≥20.
当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最小值为20.
二、
（1）如图，联结DF.则△BDF是等腰直角三角形.于是，∠FPD=∠FDB=45°
.故∠DPC=45°
.
又因为∠PDC=∠PFD，所以，△PFD∽△PDC.
从而，PF/FD=PD/DC.①
由∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
得△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE.
于是，EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF.
故由式①得EP/DE=PD/DC.
（2）因为∠EPD=∠EDC，结合式②得△EPD’∽△EDC.所以，△EPD也是等腰三角形.
三、设f（n）=.
当n=2，3，…，1004时，有f（n）-f（n-1）=<
1.
而f
（1）=0，f（1004）=10042/2008=502，
以，从0到502的整数都能取到.当n=1005，1006，…，2008时，有f（n）-f（n-1）=>
而f（1005）=10052/2008=（1004+1）2/2008=502+1+1/2008>
503，
故是互不同的整数.从而，在中，共有503+1004=1507个不同的整数.
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