初三几何4角平分线辅助线.拔高(2014-2015)教师Word格式.doc

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知识点三角平分线模型

模型一两角平分线相交模型

这些是三角形角平分线的经典题型，必须让学生掌握这些证明过程

类型一：

在中，如图1，为和的角平分线，与为

推理方法：

如图①，可得，，化简可得

类型二：

如图2，为和的角平分线，求与之间的关系为

如图②，可得，，化简可得

类型三：

如图3，为和的角平分线，则与之间的关系为

如图③，，，化简可得

模型二对角互补模型

条件：

①，②∠AOB+∠DCE=180°

结论：

①

②

③

难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍）

中考满分必做题

【练1】在中，平分，，为垂足，为的中点，求证：

．

【答案】延长交于，则得，所以为中点，所以，所以

含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴作出全等三角形．

【练1】如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．

【答案】题目中有角平分线和垂直的条件，

因此可以考虑将图形补成等腰，

之后再证明是的中位线即可．

如图所示，延长、相交于点，

在和中，，

，，

故，从而，．

而，故是的中位线，

从而．

【练2】如图，在中，，、分别是、的平分线，，．

求证：

【答案】如图，作，交于，交于．

∵为等腰三角形，且平分

∴为中点，且

∵平分，且

∴为等腰三角形，且为的中点

又∵

∴，且为中点，即

可以发现四边形为矩形，于是

∴

【练3】在中，，的平分线交于，过作，为垂足，

【答案】延长交的延长线于，

过作交于，

容易证得，

且为之中点，

故易得．

【练1】如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，，求证．

【答案】如图所示，延长到，使，连接、．

因为，故，则．

因为，故．

因为，，故．

因为平分，故．

在和中，，，，

故，从而，因此．

【点评】实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想．

【练2】如图，在中，是角平分线，，垂足为．求证：

【答案】如图，延长交于于．

因为，，，

所以．

于是．

因为，

【练3】如图，已知，，，．求证：

【答案】解法一：

如图，取的中点，连接、．

∵，，

∴．

∵，，公共，

解法二：

如图，延长到，使，．

∴，．

∵，

∴，

∴是等腰三角形底边上的中线，

解法四：

如图，取、的中点、，

连接、，∴，故．

∴．而，公共，

∴，，

∴是直角三角形．∴．

【练4】如图，在中，，的平分线交于，过作，垂足为，

【答案】解法一（角分线加中位线）：

如图，延长、交于．

过作，交于，

则，，．

∴，∴．

解法二（角分线加中位线）：

如图，延长、

交于，过作交于．

∴，．故有．

∵，∴．

解法三（直角三角形斜边中线）：

如图，取的中点，

连接交于，则是斜边上的中线．

∴．故，，，

有，故是的重心．

∴为的中线，故．

解法四（角平分线定理与面积比例）：

∴．∴．

而，∴．

∵平分，∴，，

故，∴．

【练1】是的角平分线，交的延长线于，交于．求证：

【答案】由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，

故恢复等腰三角形．延长交的延长线于点，

易证得，所以为的中点，

又，所以为的中位线，故．

这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件．

【练2】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证且．

【答案】如图所示，延长到，使，

连接．在和中，，

，，故，

从而、、三点共线，

且是的中点，是的中位线，

故，且

【练3】如图所示，在中，平分，，于，求证．

【答案】如图所示，延长、相交于．

取的中点，连接，则，

故，则．

容易证明，故．

因此．

【练5】已知在中，，的平分线交于，交边上的高于，过作交于，求证：

如图，由向作垂线，垂足为，连接．

又∵，，

∴，，公共．

∴，故，

∴．而，

∴为平行四边形，故．

又∵，∴．

而，故，

∴．而，∴．

如图，作，交于．

∵，，∴．

又∵，，∴．

而，故．∴，．

又∵，∴．∴，

∴，即．∴．

解法三：

如图，过作，垂足为．

过作，垂足为．

∴，∴，∴．

又∵，，而．

∴，，故．

如图，延长到，使，连接，

过作交于，显然．

又，公共，

∴，，．

显然为平行四边形，

由另证1可知，故．

【练1】如图所示，在中，，于，的角平分线交与，交于，平行于交于．，，则______．

【解析】角平分线、直角．

过作垂直交于点，易证；

由角度分析易知，即；

则有；

又可证，则，则．

【答案】4

【练2】如图，在△中，，平分交于，于交于，∥交于，连接．求证：

【答案】先证△≌△，再证△≌△

【练2】如图所示，在中，于，平分，交于，交于，在上取，连接，证明：

是直角三角形．

【答案】过做垂直于；

由角的关系易得，即；

易证；

；

，；

综合得到，，得证．

【练3】在直角三角形中，，的平分线交于．自作交于，交于．自作于，求证：

【答案】解法一（四点共圆+垂径定理）：

如图．，4点共圆，．

又，，，故．

解法二（证菱形）：

如图，连接

是的平分线，，，

，．，，

，，，

，四边形是菱形．．

解法三（三线合一）：

如图．

，，公共，

．，．

是的中垂线，故．

解法四（截长补短）：

如图，延长交于，连接．

，，，．

显然，．

又，4点共圆，

为等腰梯形，为等腰三角形．

，．而，．

【拓展】如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于，于，求证：

如图，过作，

交于，垂足为，连接．

∴．∴是的中垂线．

又∵，∴，

∴是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形），

∴，，，

如图，过作．

∴，故．

∴，，∴．

中考真题拔高

注：

中考题和模拟题的几何压轴题经常把角平分线的基本性质和对称性，和垂直平分线基本性质结合起来考。

可以根据全等得到角等推出对角互补，从而推导出四个角相等，经常和相似结合起来出相似比，也会和圆结合起来考。

【练6】已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.

（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图，在

（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；

（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；

当时，直接写出的长.

（09年昌平一模）

【答案】

（1）与的数量关系是相等

过点作，，垂足分别为点．

∵，易得．

，

而，

∵是的平分线，

又∵，

．

（2），，

∽．

（3）如图1所示，若与射线相交，则；

如图2所示，若与直线的交点与点在点的两侧，则．

【练7】

（1）如图1，为的角平分线，于，于，，请补全图形，并求与的面积的比值；

（2）如图2，分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角

形，与相交于点，判断与的数量关系，并证明；

（3）在四边形中，已知，且，对角线平分，

请直接写出和的数量关系.

（10年昌平二模）

（1）解：

如图1所示.

∵为的角平分线，于，于，∴．

∵,,，

∴.

（2）答：

与的数量关系为相等．

证明：

如图2，过点作⊥于,⊥于,

∵和都是等边三角形，

∵,

∴≌．

∴,

∵,,

∴．∴点在的角平分线上．

（3）答：

【练8】已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°

.

（1）利用图1，求证：

PA=PB；

（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PB与PC的比值；

（3）若∠MON=60°

，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长.

图2

图1

图3

（2011昌平一模）

（1）

在上截取，连接，

∵∴

又∵

∴

∵∴，∵∴

∴∴

（2）

∵

∵且

∴∴∵，∴

∴．　

（3）

作交于，∵且平分∴

∵∴

∵∴

∵∴

∵在中∴，∴

∴在中，∴

【练9】已知：

如图，为锐角，平分，点，点分别在射线和上，.

（1）若点在线段上，线段的垂直平分线交直线于点，直线交直线

于点，求证：

（2）若

（1）中的点运动到线段的延长线上，

（1）中的其它条件不变，猜想

的数量关系并证明你的结论.

（1）证明：

备用图1

备用图2

（2）

（2014年1月西城八年级期末试题—附加题）