高中数学 每日一题新人教A版必修4Word文件下载.docx
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1.已知函数y=2sin(+).
(1)试用“五点法”画出它的图象;
(2)求它的振幅、周期和初相.
2.已知函数.
(1)列表并画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图;
(2)求的单调递减区间.
1.【解析】
(1)令t=+,列表如下:
t
y
2
-2
描点连线并向左右两边分别扩展,得到如图所示的函数图象:
(2)振幅A=2,周期T=4π,初相为.
【名师点睛】利用“五点法”作出函数在一个周期内的图象之后,只需把函数的图象向左右两方伸展出一部分即可.如果要作出函数在指定区间内的图象,则要注意对函数图象端点的处理.
2.【解析】
(1)函数的周期,我们用“五点法”作函数在一个周期上的图象.按五个关键点列表如下:
3
-3
描点作图,得到一个周期的简图,图象如下:
(2)由得,
所以,函数的单调递减区间为.
4月25日三角函数图象之间的变换
★★★☆☆难易程度:
★★★☆☆
要得到函数y=cosx的图象,只需将函数y=sin(2x+)图象上的所有点的
A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
【参考答案】C
【试题解析】∵y=cosx=sin(x+),
∴y=sin(2x+)的图象
y=sin(x+)的图象y=sin(x+)的图象.故选C.
【解题必备】变换作图法作的图象是指由函数y=sinx的图象通过变换得到的图象,有两种主要途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如图所示
由上可知函数y=sinx到的图象的变换途径为:
相位变换→周期变化→振幅变换,或周期变换→相位变化→振幅变换.
1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象
A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位
2.函数的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象
A.向右平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向左平移个单位
3.有下列四种变换方式:
①向左平移,再将横坐标变为原来的;
②横坐标变为原来的,再向左平移;
③横坐标变为原来的,再向左平移;
④向左平移,再将横坐标变为原来的;
其中能将正弦曲线的图象变为的图象的是
A.①和②B.①和③
C.②和③D.②和④
1.A【解析】由图象,得:
,则,即,因为图象过点,所以,解得,又,所以.则g(x)=sin2x的图象由的图象向右平移个长度单位得到.故选A.
2.D【解析】由题结合图象可得
故选D.
3.A【解析】对于①,将正弦曲线向左平移,可得到曲线,再将横坐标变为原来的,可得到曲线,所以正确;
对于②,将横坐标变为原来的,得到曲线,再向左平移,得到曲线,所以正确;
对于③,将横坐标变为原来的,得到曲线,再向左平移,得到曲线,所以错误;
对于④,向左平移,得到曲线,再将横坐标变为原来的,得到曲线,所以错误.故选A.
4月26日由图象求函数的解析式
★★★★☆难易程度:
函数的部分图象如图所示,则函数表达式为
A.B.
C.D.
【参考答案】D
【试题解析】由图知,当时,,,所以,所以.当时,,解得,当时,,所以函数表达式为,故选D.
【解题技巧】根据函数的图象确定函数中的参数主要方法:
(1)主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定;
(2)的值主要由周期的值确定,而的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定;
(3)值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定.
1.如图所示为函数的部分图象,其中A、B两点之间的距离为5,那么f(−1)=
A.B.C.2D.−2
2.函数的部分图象如图所示,则的值分别是
A.2,B.2,
C.4,D.4,
1.C【解析】由题中图象可得,即,由,结合图象可得,由两点之间的距离为5,解得,解得,故函数,故.故选C.
2.A【解析】由题意得:
又所以
而,所以
4月27日由图象变换求函数的解析式
将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是
A.B.
C.D.
【试题解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,得,再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得.故选C.
【解题必备】1.确定函数的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出的值.
2.由的图象得到的图象,可采用逆向思维,将原变换反过来逆推得到.
1.将函数f(x)=-cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x),则g(x)具有性质
A.最大值为1,图象关于直线x=对称
B.在(0,)上单调递减,为奇函数
C.在(,)上单调递增,为偶函数
D.周期为π,图象关于点(,0)对称
2.若把函数的图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y=sinx的图象,则的解析式为
A.y=sin(2x-)+1B.y=sin(2x-)+1
C.y=sin(x+)-1D.y=sin(x+)-1
1.B【解析】由题意得,,
对于选项A,最大值为1正确,而,不关于直线对称,故A错误;
对于选项B,当时,,g(x)在上单调递减,显然也是奇函数,故B正确;
对于选项C,当时,,不满足单调递增,也不是偶函数,故C错误;
对于选项D,周期,,故不关于点对称,故选B.
2.B【解析】将y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变),得到y=sin2x的图象,再将所得图象向上平移1个单位,得到y=sin2x+1的图象,再把函数y=sin2x+1的图象向右平移个单位,得到y=sin2(x-)+1的图象,即函数的图象,所以f(x)=sin2(x-)+1=sin(2x-)+1,故选B.
4月28日三角函数模型的简单应用
★☆☆☆☆难易程度:
如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题:
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式;
(2)当你第4次距离地面60.5米时,用了多长时间?
【试题解析】
(1)由已知可设y=40.5-40cosωt(t≥0),由周期为12分钟,可知,当时,摩天轮第1次到达最高点,即此函数第1次取得最大值,所以.即ω=.
所以y=40.5-40cost(t≥0).
(2)设转第1圈时,第分钟时距地面60.5米,由,得,所以或,解得或,所以(分钟)时,第2次距地面60.5米.故第4次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟).
【解题必备】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型,然后根据已知条件确定函数解析式中的各个参数,最后利用模型解决实际问题.
1.黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛礁,黄岩岛四周为距水面0.5米到3米之间的环形礁盘.礁盘外形呈等腰直角三角形,其内部形成一个面积为130平方公里、水深为10~20米的湖.湖东南端有一个宽400米的通道与外海相连,中型渔船和小型舰艇可由此进入维修或者避风,受热带季风的影响,四月份通道一天中整点(偶数)时的水深的近似值如下表:
时间(时)
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
水深(米)
7.5
5.7
5
12.6
14.3
15
14.4
12.5
10.1
此通道的水深y(米)与时间x(时)可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h(A>
0,ω>
0,|φ|<
π)的函数来刻画.
(1)根据以上数据画出其近似图象,并求出水深y(米)与时间x(时)的具体函数关系式;
(2)若某渔船吃水深度为5米,船底与海底的安全间隙为2.5米,该船需进湖休息,一天中什么时刻可以进入湖内?
2.弹簧上挂的小球上下振动时,小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数曲线,其图象如图所示.
(1)求这条曲线对应的函数解析式;
(2)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少?
(1)图象如图所示
由图可知该函数的最大值为15,最小值为5,最小正周期为24,
即A+h=15,h-A=5,,
解得A=5,h=10,ω=.又函数的图象过点(16,15),即y=5sin(×
16+φ)+10=15,
所以φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<
π,所以φ=-.
所以水深y(米)与时间t(时)的函数关系式为y=5sin(x-)+10.
(2)因为该渔船吃水线为5米,船底与海底的安全间隙为2.5米,所以要使该渔船进湖休息,需水深不小于7.5米时进出,
即一天中需y=5sin(x-)+10≥7.5时进出,
解得x=0或8≤x≤24,
所以一天中0时或8时到24时可以进入湖内休息.
(1)设这条曲线对应的函数解析式为s=Asin(ωt+φ).
由图象可知:
A=4,周期T=2×
=π,所以ω==2,
此时所求函数的解析式为s=4sin(2t+φ).
以点为“五点法”作图的第二关键点,则有2×
+φ=,所以φ=.
得函数解析式为s=4sin.
(2)当t=0时,s=4sin=4sin=4×
=2(cm),
所以小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是2cm.
4月29日周六培优特训
1.要得到函数y=sin(2x+)的图象,只要将函数y=sin2x的图象
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
2.已知y=Asin(ωx+φ)在同一