圆压轴突破训练培优篇附解析Word下载.docx

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∴∠6＝∠7，

又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2

∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，

∴BO平分∠ABC

（3）

图3

如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN

∵OH⊥CN，OF⊥BC

∴CH＝NH，BF＝CF

∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN

∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC

∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM

∴∠OEH＝∠EHM

设EM、OE交于点P

∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°

∴∠EOH＝∠OHP

∴OP＝PH

∵∠ADC＝∠OHC＝90°

∴AD∥OH

∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP

∴PM＝PB

∴PM+PH＝PB+OP

∴HM＝OB＝5

在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4

∴BC＝8，sin∠OBC＝

∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°

∴∠AKB+∠CKB＝90°

∴OK⊥AC

AC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝

∴AC＝

2．AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两个点，AD交BC于点F，点E在AB上，DE交BC于点G，且∠DGF＝∠CAB．

（1）如图1．求证：

DE⊥AB．

（2）如图2．若AD平分∠CAB．求证：

BC＝2DE．

（3）如图3．在

（2）的条件下，连接OF，若∠AFO＝45°

，AC＝，求OF的长．

（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°

∴∠CAB+∠CBA＝90°

∵∠DGF＝∠CAB，∠DGF＝∠BGE，

∴∠BGE＝∠CAB，

∴∠BGE+∠CBA＝90°

∴∠GEB＝90°

∴DE⊥AB；

（2）如图2，连接OD交BC于H，连接BD，

∵AD平分∠CAB，

∴，

∴OD⊥BC，BH＝CH，

∵DE⊥AB，OD＝OB，

∴S△OBD＝OD×

BH＝OB×

DE，

∴BH＝DE，

∴BC＝2DE．

（3）如图3，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S，

∴∠CAD＝∠BAD＝x，

∴∠FBO＝90°

﹣2x，

∵∠AFO＝45°

∴∠FOB＝45°

+x，

∴∠OFB＝180°

﹣（90°

﹣2x）﹣（45°

+x）＝45°

∴∠FOB＝∠OFB

∴BF＝BO＝OA，

∵∠FRB＝∠ACB＝90°

，∠FBR＝∠ABC，

∴△BFR∽△BAC，

∵AC＝，

∴FR＝，

∴CF＝FR＝，

∴AF＝，tan∠FAR＝tan∠FAC＝，

设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，

则AF＝AS+SF＝3t＝，t＝，

∴OF＝t＝．

3．已知：

在△MAB中，C、D分别为BM、AM上的点，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，∠MCD＝∠ACD；

（1）如图①，求证：

弧AD＝弧BD；

（2）如图②，若AB为直径，CD＝BC，求tan∠DAC值；

（3）如图③，在

（2）的条件下，E为弧CD上一点（不与C、D重合），F为AB上一点，连接EF交AC于点N，连接DN、DE，若DN＝DE，AB＝10，∠ABC﹣45°

＝∠ANF，求AN的长．

（1）∵∠MCD+∠DCB＝180°

，∠DCB+∠DAB＝180°

∴∠DAB＝∠MCD

又∵∠MCD＝∠ACD

∴∠DAB＝∠ACD

∴弧AD＝弧BD

作DG⊥MB于点G，连结BD（如图2）

∵AB为直径

弧AD＝弧BD＝45°

∴∠MCD＝∠DAB＝45°

∴DG＝GC＝CD

又∵CD＝BC

∴BC＝CD

∴DG＝GC＝BC

∴tan∠DBC＝＝

又∵∠DAC＝∠DBC

∴tan∠DAC＝tan∠DBC＝

连结BD交AC，EF分别为点P，点L，连结OP，OE，PE，再作OH⊥EF于点H，NM⊥AD于点M（如图3所示）

∵∠ABC﹣45°

＝∠ANF，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝∠ABC45°

∴∠ANF＝∠DBC＝∠DAC

∴EF∥AD

∴EF⊥BD

由

（2）得tan∠DAP＝

∴

即P为BD的中点

∴OP⊥BD

∴四边形OPLH为矩形

设HO＝d，则PL＝d．

又∵DN＝DE

∴BD垂直平分NE

∴PE＝PN

∴∠LEP＝∠LNP＝∠DAP

∴LE＝2d

又∵△OPB为等腰直角三角形

∴OP＝BO＝

∴LH＝OP＝

∴HE＝LH+LE＝+2d

∵OH2+HE2＝OE2

解得d＝

∴DL＝DP﹣LP＝＝

∴MN＝DL＝

∴AM＝2MN＝

4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，以BC上一点O为圆心作圆与AB相切于点D，与BC分别交于点F、N，连接DF并延长交AC的延长线点E．

（1）求证：

AE＝AD；

（2）过点D作DH⊥BC于点B，连接AF并延长交⊙O于点G，连接DG，若DO平分∠GDH．求证：

∠AFD＝2∠DFN；

（3）在

（2）的条件下，延长DG交AE的延长线于点P，连接PF并延长交⊙O于点M，若FM＝5，FH＝9，求OH的长．

（1）证明：

∵∠ACB＝90°

∴∠E+∠CFE＝∠ACB＝90°

∵∠CFE＝∠OFD

∴∠E+∠OFD＝90°

∵AB切⊙O于D

∴OD⊥AB

∴∠ODF+∠ADE＝90°

∵OD＝OF

∴∠OFD＝∠ODF

∴∠E＝∠ADE

∴AE＝AD

（2）证明：

连接DN

∵DO平分∠GDH

∴设∠ODG＝∠ODH＝α，

设∠FDG＝β，则∠FDH＝2α+β

∵OF＝OD

∴∠DFN＝∠ODF＝α+β

∵DH⊥FN

∴∠DHF＝90°

∴∠DFN+∠FDH＝90°

，即α+β+2α+β＝3α+2β＝90°

∵FN为⊙O直径

∴∠FDN＝90°

∴∠DNF＝90°

﹣∠DFN＝90°

﹣（2α+β）＝3α+2β﹣（α+β）＝2α+β

∴∠G＝∠DNF＝2α+β

∵∠AFD＝∠G+∠FDG＝2α+β+β＝2α+2β

∴∠AFD＝2∠DFN

（3）过O作OQ∥AB交FM于点Q

∵∠AEF+∠EFC＝90°

，∠DFN+∠FDH＝90°

，∠EFC＝∠DFN

∴∠AEF＝∠FDH＝2α+β

∴∠ADE＝∠AEF＝2α+β

∴∠FAD＝180°

﹣∠AFD﹣∠ADF＝2（3α+2β）﹣（2α+2β）﹣（2α+β）＝2α+β

即∠FAD＝∠ADF

∴AF＝DF

∴F在AD的垂直平分线上

∵∠AEF＝∠FGD＝2α+β，∠AFE＝∠DFG

∴∠EAF＝∠FDG＝β

∴∠PAD＝∠PDA＝β+（2α+β）＝2α+2β

∴PA＝PD

∴P在AD的垂直平分线上

即PM垂直平分AD

∴OQ⊥FM

∴∠OQF＝90°

，FQ＝FM＝

∵OQ∥AB

∴∠FOQ＝∠B

∵∠B+∠DOH＝∠DOH+∠ODH＝90°

∴∠B＝∠ODH

∴∠FOQ＝∠ODH

在△FOQ与△ODH中

∴△FOQ≌△ODH（AAS）

∴OH＝FQ＝

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．

AD是⊙O的切线；

（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．

①求证：

AG＝BG；

②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．

如图1，连接OA，OB，OC．

在△OAC和△OAB中，，

∴△OAC≌△OAB（SSS），

∴∠OAC＝∠OAB，

∴AO平分∠BAC，

∴AO⊥BC．

又∵AD∥BC，

∴AD⊥AO，

∴AD是⊙O的切线．

（2）①证明：

如图2，连接AE．

∵∠BCE＝90°

∴∠BAE＝90°

．

又∵AF⊥BE，

∴∠AFB＝90°

∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°

∴∠BAG＝∠AEB．

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，

∴∠BAG＝∠ABC，

∴AG＝BG．

②解：

在△ADC和△AFB中，，

∴△ADC≌△AFB（AAS），

∴AF＝AD＝2，BF＝CD＝3．

设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝3，BG＝AG＝x+2，

∴FG2+BF2＝BG2，即x2+32＝（x+2）2，

∴x＝，

∴FG＝．

6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与坐标轴交于A，B两点，动点C在x轴正半轴上，⊙D为△AOC的外接圆，射线OD与直线AB交于点E．

（1）如图①，若OE＝DE，求＝　　；

（2）如图②，当∠ABC＝2∠ACB时，求OC的长；

（3）点C由原点向x轴正半轴运动过程中，设OC的长为a，

①用含a的代数式表示点E的横坐标xE；

②若xE＝BC，求a的值．

（1）∵OE＝DE，

∴S△AOE＝S△ADE，

∵AD＝CD，

∴S△CDE＝S△ADE，

∴＝，

故答案为：

；

（2）作OF⊥AC于点F，

对于直线y＝﹣2x+4，当y＝0时，x＝2，当x＝0时，y＝4，

则A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），即OA＝4，OB＝2，

∵∠ABC＝2∠ACB，

∴∠ADO＝∠ABC，

∴∠ODC＝∠ABO，

∴tan∠ODC＝tan∠ABO＝2，

设DF＝m，则OF＝2m，

由勾股定理得，OD＝＝m，

∴CF＝（﹣1）m，

∴tan∠OCD＝，

∴＝，即＝，

解得，OC＝2﹣2；

（3）①设直线OD交⊙D另一点为G，连结AG，作EH⊥AO于点H，

则EH∥AG，

∴＝，＝，

∴+＝+＝1，即+＝1，

解得，xE＝；

②当C在点B右侧时，BC＝xE，即a﹣2＝xE，

∴a﹣2＝，

解得，a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），

当C在点B左侧时，BC＝xE，即2﹣a＝xE，

∴2﹣a＝，

解得，a1＝﹣1+，a2＝﹣1﹣（舍去），

所以a的值为±

1．

7．已知：

如图，BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一个动点，△OBC的周长为16．过C作CD∥AB交⊙O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQ∥AB交于Q，设∠A的度数为α．

（1）如图1，求∠COB的度数（用含α的式子表示）；

（2）如图2，若∠ABC＝90°

时，AB＝8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；

（3）如图1，当PQ＝2，求的值．

（1）∵∠A的度数为α，

∴∠COB＝2∠A＝2α，

（2）当∠ABC＝90°

时，AC为⊙O的直径，

∵CD∥AB，

∴∠DCB＝180°

﹣90°

＝90，

∴BD为⊙O的直径，

∴P与圆心O重合，

∵PQ∥AB交于Q，

∴OQ⊥BC，

∴CQ＝BQ，

∵AB＝8，

∴OQ＝AB＝4，