高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题51 平面向量的概念及线性运算原卷版文文Word文档格式.docx
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长度相等且方向相反的向量.
2.五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.
(2)单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上,因此平行向量也叫做共线向量.
(4)与向量a平行的单位向量有两个,即向量和-.
3.辨析向量有关概念的五个关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.
【例1】下列叙述错误的是________(填序号).
①已知向量a∥b,且|a|>
|b|>
0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;
②|a|+|b|=|a+b|⇔a与b方向相同;
③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa;
④+=0;
⑤若λa=λb,则a=b.
【例2】给出下列命题:
①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
③若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则四边形ABCD为平行四边形;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中真命题的序号是.
题型二平面向量的线性运算
【题型要点】
1.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律:
a+b=b+a;
结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|=|λ||a|,当λ>
0时,λa与a的方向相同;
当λ<
0时,λa与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0
λ(μa)=(λμ)a;
(λ+μ)a=λa+μ_a;
λ(a+b)=λa+λb
2.向量线性运算的两个常用结论
(1)在△ABC中,AD为BC边上的中线,则=(+).
(2)O为△ABC的重心的充要条件是++=0.
【例1】在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A.-B.-
C.+D.+
【例2】
(2020·
合肥市第二次质量检测)在△ABC中,=,若=a,=b,则=( )
A.a+bB.a+b
C.a-bD.a-b
题型三平面向量共线定理的应用
【易错提醒】证明三点共线时,需说明共线的两个向量有公共点.
命题角度1 证明向量共线或三点共线
【例1】已知向量a与b不共线,=a+mb,=na+b(m,n∈R),则与共线的条件是( )
A.m+n=0B.m-n=0
C.mn+1=0D.mn-1=0
【升华】证明向量共线:
对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb(b≠0),则a与b共线.
命题角度2 由向量共线求参数的值
广东六校第一次联考)如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=t+,则实数t的值为( )
A.B.
C.D.
【升华】求参数的值:
利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.命题角度3证明三点共线
【例3】
江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:
A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
【规律】证明三点共线:
若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线.
题型四共线定理的推广与应用
一、共线定理:
已知,为平面内两个不共线的向量,设=x+y,则A,B,C三点共线的充要条件为x+y=1.
二、推广形式:
如图所示,直线DE∥AB,C为直线DE上任一点,设=x+y(x,y∈R).
当直线DE不过点P时,直线PC与直线AB的交点记为F,因为点F在直线AB上,所以由三点共线结论可知,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=1.由△PAB与△PED相似,知必存在一个常数m∈R,使得=m,则=m=mλ+mμ.
又=x+y(x,y∈R),
所以x+y=mλ+mμ=m.
以上过程可逆.
因此得到结论:
=x+y,
则x+y=m(定值),反之亦成立.
【例1】
江西上饶重点中学六校联考)如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D,若=m+n,则m+n的取值范围是________.
【例2】如图,在扇形OAB中,∠AOB=,C为弧AB上的动点,若=x+y,则x+3y的取值范围是________.
二、高效训练突破
一、选择题
1.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;
②若a与a0平行,则a=|a|a0;
③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知平面内一点P及△ABC,若++=,则点P与△ABC的位置关系是( )
A.点P在线段AB上B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上D.点P在△ABC外部
3.(2020·
唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=( )
A.-2B.-
C.-D.
4.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d反向共线,则实数λ的值为( )
A.1B.-
C.1或-D.-1或-
5.如图,已知=,用,表示,则等于( )
A.-B.+
C.-+D.--
6.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°
,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ等于( )
A.1 B.
C. D.
7.(2020·
广东华附、省实、广雅、深中联考)设a,b是非零向量,记a与b所成的角为θ,下列四个条件中,使=成立的充要条件是( )
A.a∥bB.θ=0
C.θ=D.θ=π
8.(2020·
广东一模)已知A,B,C三点不共线,且点O满足16-12-3=0,则( )
A.=12+3B.=12-3
C.=-12+3D.=-12-3
9.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d反向共线,则实数λ的值为( )
A.1 B.-
10.下列四个结论:
①++=0;
②+++=0;
③-+-=0;
④++-=0.
其中一定正确的结论的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
11.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是( )
C.D.
12.如图,A,B分别是射线OM,ON上的点,给出下列向量:
①+2;
②+;
③+;
④+;
⑤-.若这些向量均以O为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )
A.①②B.②④
C.①③D.③⑤
二、填空题
1.(2020·
河南三市联考)若=,=(λ+1),则λ=________.
2.(2020·
广州综合测试
(一)文)设P是△ABC所在平面内的一点,且=2,则△PAB与△PBC的面积的比值是.
3.设两个非零向量a与b不共线,若a与b的起点相同,且a,tb,(a+b)的终点在同一条直线上,则实数t=________.
4.(2020·
江西临川一中、南昌二中5月联考(文))在△ABC中,=,=2,=λ+μ,则λ+μ=.
5.若||=8,||=5,则||的取值范围是.
6.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:
①=a-b;
②=a+b;
③=-a+b;
④++=0.
其中正确命题的个数为.
7.在△ABC中,∠A=60°
,∠A的平分线交BC于点D,若AB=4,且=+λ(λ∈R),则AD的长为________.
铜川模拟)在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得=λ+μ,则λ+μ=________.
9.已知P为△ABC所在平面内一点,++=0,||=||=||=2,则△ABC的面积为________.
10.已知O为△ABC内一点,且2=+,=t,若B,O,D三点共线,则t的值为________.
三解答题
1.经过△OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,n∈R,求+的值.
2.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).
(1)若m+n=1,求证:
A,P,B三点共线;
(2)若A,P,B三点共线,求证:
m+n=1.