专题旋转相似模型Word下载.docx

专题旋转相似模型Word下载.docx

《专题旋转相似模型Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题旋转相似模型Word下载.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

∴△ECK是等腰直角三角形．

（2）证明：

如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．

∵∠α=45°

，DE⊥AE，∴∠AED=90°

，∠DAE=45°

，∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE=AE=BG，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°

，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵AC=BC，

∴△AEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG，∠5=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°

，

∴△ECG是等腰直角三角形，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴CK=EK=KG，

∴BE－AE=BE－BG=EG=EK＋KG=2CK．

（3）解：

结论：

BE-AE•tanα=2CK．

如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q．

∵DE⊥AE，∠ACB=90°

∴∠CAE+∠EQA=90°

∠CBG+∠CQB=90°

∵∠EQA=∠CQB，

∴∠CAE=∠CBG，在Rt△ACB中，tanα=，在Rt△ADE中，tanα=，

∴，DE=AE·

tanα∴△CAE∽△CBG，∴∠ACE=∠BCG，

∴∠ECG=∠ACB=90°

，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，

∴EG=2CK，∵BE－BG=EG=2CK，∴BE－DE=2CK，

∴BE－AE•tanα=2CK．

2．（问题发现）

（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°

得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是　，位置关系是　；

（探究证明）

（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；

（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°

，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°

＜α＜360°

），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．

2解：

（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°

，∵∠BAC＝∠DAE＝90°

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°

∵∠ACB＝45°

，∴∠BCE＝45°

+45°

＝90°

，故答案为：

BD＝CE，BD⊥CE；

（2）BD⊥CE，

如图2，连接BD，

∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°

∵∠CAB＝∠DAE＝90°

，∴∠BAD＝∠CAE，∵AC＝AB，AE＝AD，

∴△CEA≌△BDA（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝45°

∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°

，∴BD⊥CE；

（3）如图3，过A作AF⊥EC，

由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°

∴，即，∵∠BAC＝∠EAD＝90°

∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠ABE＝∠ACD，

∵∠BEC＝180°

﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°

﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°

﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°

，∴BE⊥CE，

在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，∴BD＝，

∵AC⊥BD，∴S△BCD＝AC•BD＝BC•AC，∴AC＝AE＝，AD＝，

∴AF=，CE＝2CF＝2×

，∴BE＝．

3．

（1）尝试探究：

如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB．

①的值为_________；

②直线与直线的位置关系为__________；

（2）类比延伸：

如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；

（3）拓展运用：

若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．

3解：

（1）∵，，∴，

∴，∵，∴，

∴，∴，

∴，，∴，

∵，∴，故答案为：

，；

（2），如图，连接，延长交于，交于点，

∵旋转，

∴，∵，

∴，且，∴，

∴，，∵，

∴，∴；

（3）①如图，过点作交的延长线于点，

∵，，，，

∴，，∵，，

∴，且三点在同一直线上，

∴，∵旋转，∴，

∴，且，∴，，

②如图，过点作于点，

∴，∵旋转，∴，且，

∴，，∴，

∴．

4已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°

，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°

得到线段EF，连接FG，FD．

（1）如图1，当∠BAC＝60°

时，请直接写出的值；

（2）如图2，当∠BAC＝90°

时，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；

若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小．最小值是多少？

（用含α的三角函数表示）

4【详解】

（1）连接BF，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°

，∴△ABC为等边三角形，

∵线段CE绕点E顺时针旋转60°

得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°

∴△EFC都是等边三角形，

∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°

，∴∠ACE＝∠BCF，

∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．

（2）不成立，结论：

＝．

证明：

连接BF，

∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°

∴∠BAC＝∠CEF＝90°

，∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，

∴∠ACB＝∠ECF＝45°

，∴∠ACE＝∠BCF，∴＝＝，

∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．

（3）结论：

当点E为AD的中点时，的值最小，最小值为sinα．

连接BF，取AC的中点M，连接EM，

∵AB=AC，EC＝EF，∠BAC＝∠FEC＝2α，∴∠ACB＝∠ECF，

∴△BAC∽△FEC，＝，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△BCF，

∵D为BC的中点，M为AC的中点，

∴＝＝＝，∴＝，

∵当E为AD中点时，又∵M为AC的中点，∴EM∥CD,

∵CD⊥AD，∴EM⊥AD,此时，最小=sinα，∴的最小值＝sinα．

5如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．

（1）如图2，若

（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．

①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；

②若BD=7，AE=，求DF的长；

（2）如图3，若

（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．

【详解】

（1）①AE=BF，理由如下：

∵ABCD为矩形，

∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，∵△COD绕点O旋转得△EOF，

∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF∵∠BOD=∠AOC=180°

∴∠BOD-∠DOF=∠AOC-∠COE即∠BOF=∠AOE

∴△BOF≌△AOE（SAS），∴BF=AE

②∵OB=OD=OF，∴∠BFD=90°

∴△BFD为直角三角形，

∴，∵BF=AE∴

∵BD=7，AE=∴DF=

（2））∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=5，

∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△FOE，

∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB

∴，且∠EOA=∠FOB∴△AOE∽△BOF，∴

∵OB=OF=OD∴△BDF是直角三角形，

∴

6．如图

（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．

（1）问题发现

在图

（1）中，_________；

（2）拓展探究

将图

（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？

请仅就图

（2）的情形给出证明；

（3）问题解决

当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．

（1）解：

延长FG交BC于点H，

则

，，故答案为：

（2）的大小无变化.证明：

如图

（1），连接，

由题意可知：

，∴，

即，在矩形中，，

∴，∴，在矩形中，，

∴，∴，∴，

（3）或

如图

（2），图（3）：

如图

（2），当点在线段上，由

（2）知，，，在中，

当点在的延长线上时，由

（2）知，，，在中，

综上所述，或

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．

（1）如图1，若∠B＝45°

，则＝　　；

（2）如图2，若∠DCG＝30°

，，求：

＝　　；

（3）如图3，若∠ABC＝60°

，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：

当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？

7解：

（1）如图1，

∵AB＝AC．∠B＝45°

，∴△ABC是等腰直角三角形，∵BC＝AC，

又∵点D是BC边上的中点，∴BC＝2CD，∴2CD＝AC，∴＝＝，

∵∠CAE＝∠CDE，∠DCG＝∠ACE，∴△DCG∽△ACE，∴＝；

故答案为：

（2）如图2．连接AD，

∵∠CAE＝∠CDE．∠ECA＝∠GCD，∴△DCG∽△ACE，∴＝，

又∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，∴BD＝DC，AD⊥BC，

设AB＝AC＝5k．BD＝DC＝4k，由勾股定理可得AD＝3k，∵∠ECA＝∠GCD，

∴∠ACD＝∠ECG∵∴∴△ADC∽△EGC，

∴∠ADC＝∠EGC＝90°

可得EG⊥GC，又∵D，G，E三点共线，

∴∠DGC＝90°

，又∵∠DCG＝30°

，可得DG＝2k，GC＝2k，

∴S△DGC＝×

2k×

k＝2k2，S△ABC＝×

8k×

3k＝12k2，∴＝＝；

（3）如图3，当A，M．D三点共线时，AM+DM的值最小，

连接EM，取AC的中点O，连接OE，OD．作PH⊥CD于点H，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°

，∴△ABC是等边三角形，又∵BC＝A