答案复习参考高一数学下第5章解斜三角形解析及Word格式文档下载.doc
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（2）A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°
；
（3）△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.
7.解三角形常见的四种类型
（1）已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°
及==，可求出角C，再求b、c.
（2）已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.
（3）已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.
（4）已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，求出另一边b的对角B，由C=π-（A+B），求出c，再由=求出C，而通过=求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：
A>
90°
A=90°
A<
a>
b
一解
a=b
无解
a<
bsinA
两解
a=bsinA
8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.
9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.
二、点击双基
1.在△ABC中，A=60°
，a=43,b=4，则B等于（）
A.45°
或135°
B.135°
C.45°
D.以上答案都不对
解析：
sinB===,又∵b<
a,∴B<
A.∴0°
<
B<
60°
.故B=45°
.
答案：
C
2.△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是（）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
由正弦定理得sinA=2sinBcosC,
即sin（B+C）=2sinBcosC.
∴sin（B-C）=0.
又∵-π<
B-C<
π，∴B-C=0.
A
3.设A是△ABC最小内角，则sinA+cosA的取值范围是（）
A.（-，）B.［-,］C.（1，）D.（1,］
∵0°
A≤60°
∴45°
A+45°
≤105°
∴sinA+cosA=sin（A+45°
）∈（1,］.
D
4.（2006山东潍坊检测）在△ABC中，cos2=（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（）
A.正三角形B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
∵cos2=,∴=,即cosA=.
又∵cosA=,∴=,即a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形.故选B.
B
5.已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc,则∠A=_________________________.
由已知得（b+c）2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴=.∴∠A=.
训练思维
6、△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b（b+c）,求证:
A=2B.
剖析：
研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边.
证明：
用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b（b+c）中,得
sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A-sin2B=sinBsinC
-=sinBsin（A+B）
（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B）.
因为A、B、C为三角形的三内角,所以sin（A+B）≠0.所以sin（A-B）=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B.
讲评：
利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解.
链接·
聚焦
7、
（1）该题若用余弦定理如何解决?
解：
利用余弦定理,由a2=b（b+c）,得cosA==
=,cos2B=2cos2B-1=2（）2-1=-1=.
所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角,所以A=2B.
（2）该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决?
由题设a2=b（b+c）,得=,①
做出△ABC,延长CA到D,使AD=AB=c,连结BD.①式表示的即是=,所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.
又AB=AD,可知∠2=∠D,所以∠1=∠2.
因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1,
所以A=2B.
近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.
8、（2004全国高考卷Ⅱ）已知锐角△ABC中,sin（A+B）=,sin（A-B）=.
（1）求证:
tanA=2tanB;
（2）设AB=3,求AB边上的高.
有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以
（1）为铺垫,解决
（2）.
（1）证明：
∵sin（A+B）=,sin（A-B）=,
∴=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：
＜A+B＜π,∴sin（A+B）=.
∴tan（A+B）=-,
即=-.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B-4tanB-1=0,解得tanB=（负值舍去）.得tanB=,∴tanA=2tanB=2+.
设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=.
由AB=3得CD=2+,∴AB边上的高为2+.
本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.
9、如图，有两条相交成60°
角的直路EF、MN，交点是O.起初，阿福在OE上距O点3千米的点A处；
阿田在OM上距O点1千米的点B处.现在他们同时以4千米/时的速度行走，阿福沿EF的方向，阿田沿NM的方向.
（1）求起初两人的距离；
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；
（3）什么时候他们两人的距离最短？
解：
（1）∵AB2=OA2+OB2-2OA·
OBcos60°
=7,
∴起初他们两人的距离是7千米.
（2）设他们t小时后的位置分别是P、Q，则AP=4t,BQ=4t.
下面分两种情况讨论:
当0≤t≤时，PQ2=（3-4t）2+（1+4t）2-2（3-4t）（1+4t）cos60°
.①
当t>
时，PQ2=（3-4t）2+（1+4t）2-2（4t-3）（1+4t）cos120°
.②
由①②综合得PQ2=48t2-24t+7,即PQ=.
（3）∵PQ2=48t2-24t+7=48（t-）2+4,
∴当t=时，即在第15分钟时他们两人的距离最短.
拓展
本题还可以转化为坐标运算，从而避免分类讨论.
提示：
以O为坐标原点，OE所在直线为x轴建立坐标系，则t时刻P（3-4t,0）,Q（（1+4t）,（1+4t））.
状元训练
复习篇
10.在△ABC中，下列三式·
>
0,·
0中能够成立的不等式个数（）
A.至多1个B.有且仅有1个C.至多2个D.至少2个
原条件可转化为cosA>
0,cosB>
0,cosC>
0.而A、B、C是三角形的内角，∴A+B+C=π最多一个钝角.
11.在△ABC中，a=80,b=100,A=45°
，则此三角形解的情况是（）
A.一解B.两解C.一解或两解D.无解
∵bsinA=50,∴a>
bsinA.
12（理）在△ABC中，若A=60°
b=1,S△ABC=，则的值为（）
A.B.C.D.
∵S△ABC=bcsinA,∴bcsinA=.
∴c=4.∴a2=b2+c2-2bccosA=13.∴a=.
∴===.
13、（文）（2004浙江高考）在△ABC中,“A＞30°
”是“sinA＞”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
在△ABC中,A＞30°
0＜sinA＜1sinA＞;
sinA＞30°
＜A＜150°
A＞30°
14.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=（a2+b2-c2）,则∠C的度数是_______________________.
由S=（a2+b2-c2）得absinC=·
2abcosC.∴tanC=1.∴C=45°
45°
15.在△ABC中,若∠C=60°
则+=____________________.
+=
=.（*）
∵∠C=60°
∴a2+b2-c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.
代入（*）式得=1.
1
16.在△ABC中，c=2,a>
b,∠C=,且有tanA·
tanB=6,试求a、b以及此三角形的面积.
思路分析：
由已知可求出tanA+tanB,这样便可求得tanA和tanB的值，只要求出sinA、sinB利用正弦定理可求得a、b.
∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
=-tanC（1-tanAtanB）
=-tan（1-6）=5,
又∵tanA·
tanB=6且a>
b,则tanA>
tanB.∴tanA=3,tanB=2.
而0<
0<
∴sinA=,sinB=.
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